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第19课时直角三角形基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一直角三角形图19-11.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°2.如图19-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,AC=6cm,BC=8cm,则CD的长为()A.3cmB.4cmC.5cmD.10cmDC基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理性质直角三角形的两个锐角直角三角形斜边上的中线等于在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于判定有一个角是的三角形是直角三角形有两个角的三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边长,c为斜边长,h为斜边上高;(2)Rt△ABC内切圆半径r=a+b-c2,外接圆半径R=c2,即等于斜边的一半互余斜边的一半斜边的一半直角互余基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二勾股定理及其逆定理1.下列各组线段能构成直角三角形的是()A.30,40,50B.7,12,13C.5,9,12D.3,4,6[答案]A[解析]一组线段能否构成直角三角形,要看较小两条线段的平方和是否等于最长线段的平方,只有A选项中302+402=502,故选A.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.若Rt△ABC中两条边的长分别为a=3,b=4,则第三边c的长为()A.5B.7C.7或13D.5或73.在△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,若a∶c=2∶3,c=63,则b=.D6基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于勾股定理的逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的,那么这个三角形是直角三角形勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数斜边的平方平方基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三命题与证明1.[2018·舟山]用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是()A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内2.[2019·安徽]命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为_______________________________.D如果a,b互为相反数,那么a+b=0基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理命题对某一事情作出正确或错误的句子叫做命题,正确的命题叫,错误的命题叫.命题由和两部分组成证明格式真命题需证明,证明步骤:一画(按题意画出图形),二写(写出已知、求证),三证(写出推理过程)举反例证明一个命题是假命题,只要举出一个即可反证法假设,从这样的假设出发,经过推理得出和题设条件或定义、定理、基本事实相矛盾的结论,从而得出假设不成立,即所求证的命题正确的证明方法叫做反证法判断真命题假命题题设结论反例结论不成立基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一直角三角形斜边上中线的应用例1如图19-2,四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,E,F分别是BD,AC的中点,(1)请你猜测EF与AC的位置关系,并给予证明;(2)当AC=8,BD=10时,求EF的长.图19-2解:(1)EF⊥AC.证明如下:连结AE,CE,∵∠BAD=90°,E为BD中点,∴AE=12DB,∵∠DCB=90°,∴CE=12BD,∴AE=CE,∵F是AC中点,∴EF⊥AC.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例1如图19-2,四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,E,F分别是BD,AC的中点,(2)当AC=8,BD=10时,求EF的长.图19-2解:(2)∵AC=8,BD=10,E,F分别是边BD,AC的中点,∴AE=CE=5,CF=4,∵EF⊥AC,∴EF=𝐶𝐸2-𝐶𝐹2=52-42=3.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】注意直角三角形斜边上的中线的性质的两个条件:一是直角,二是斜边的中点.这一性质是直角三角形转化为等腰三角形的有效工具.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.如图19-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点,连结ED,则∠EDC的度数是()A.25°B.30°C.50°D.65°图19-3[答案]D[解析]因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°,所以∠ACD=90°-∠A=25°,因为∠ACB=90°,所以∠DCE=90°-∠ACD=65°,因为在Rt△CDB中,E是BC的中点,所以EC=ED,所以∠EDC=∠DCE=65°.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·黄冈期末]如图19-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,若CD=8,则EF=.图19-48基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二利用勾股定理进行计算例2[2018·襄阳]已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]23或27[解析]分两种情况讨论:①当CD在△ABC内部时,如图①,在Rt△ACD中,由勾股定理得AC=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=2.∴AB=2AC=4,∴BD=AB-AD=3.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC=𝐶𝐷2+𝐵𝐷2=23.②当CD在△ABC外部时,如图②,此时,AB=4,BD=BA+AD=5,在Rt△BCD中,由勾股定理得BC=𝐶𝐷2+𝐵𝐷2=27.综上所述,BC的长为23或27.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】勾股定理是求线段长的重要工具,主要应用:(1)已知直角三角形的两边长求第三边长;(2)已知直角三角形的一边长求另两边的关系;(3)用于证明平方关系的问题.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.如图19-5,在△ABC中,点D是BC边上一点,连结AD.若AB=10,AC=17,BD=6,AD=8,则BC的长为.图19-5[答案]21[解析]∵BD2+AD2=62+82=102=AB2,∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°.在Rt△ACD中,CD=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=15,∴BC=BD+CD=6+15=21,即BC的长是21.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·宿迁]如图19-6,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是.图19-6基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]3BC23[解析]如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥AM,交AN于点C2.在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60°,∴∠ABC1=30°,∴AC1=12AB=1,由勾股定理得:BC1=3.在Rt△ABC2中,AB=2,∠A=60°,∴∠AC2B=30°,∴AC2=4,由勾股定理得:BC2=23,当△ABC是锐角三角形时,点C在C1C2上移动(不包括点C1,C2),此时3BC23.故答案为:3BC23.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三勾股定理与拼图例3数学文化[2017·丽水]我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图19-7①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为.图19-7基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b,根据题意得𝑎+𝑏=14,𝑏-𝑎=2,解得𝑎=6,𝑏=8,由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62+82=100=10,即正方形EFGH的边长为10.[答案]10基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.如图19-8是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(xy),下列结论:①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49.其中正确的结论是()A.①②B.②C.①②③D.①③图19-8基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]∵△ABC为直角三角形,∴根据勾股定理得x2+y2=AB2=49,故①正确;由图可知,x-y=CE=4=2,故②正确;由图可知,四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积,∴4×12×xy+4=49,即2xy+4=49,故③正确.∴正确结论有①②③.故选C.[答案]C基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·巴中]等腰直角三角板如图19-9放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC的三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.图19-9解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°.∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠CAE.∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·巴中]等腰直角三角板如图19-9放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(2)若设△AEC的三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.图19-9解:(2)∵△AEC≌△CDB,∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c,∵S梯形AEDB=12(AE+BD)ED=12(a+b)(a+b),S梯形AEDB=12ab+12c2+12ab,∴12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2=c2,勾股定理得证.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向四真假命题的判断例4[2019·桂林]下列命题中,是真命题的是()A.两直线平行,内错角相等B.两个锐角的和是钝角C.直角三角形都相似D.正六边形的内角和为360°A基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2019·德州]下列命题是真命题的是()A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等C基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·常州]判断命题“如果n1,那么n2-10”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为()A.-2B.-12C.0D.12A基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测图19-101.如图19-10,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为()A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2kmD基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2019·娄底]下列命题是假命题的是()A.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形C.n边形(n≥3)的内角和是180°n-360°D.旋转不改变图形的形状和大小B基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测3.[2019·滨州]满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为()A.AB=41,BC=4,AC=5B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.cosA-12+tanB-33=0C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测4.[2019·宜宾]如图19-11,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=.图19-11[答案]165[解析]在Rt△ABC中,AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5,易得12AC×BC=12CD×AB,∴CD=𝐶𝐴×𝐵𝐶𝐴𝐵=3×45=125,∴AD=𝐴𝐶2-�