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第18课时等腰三角形基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一等腰三角形图18-11.[2018·湖州]如图18-1,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是()A.20°B.35°C.40°D.70°[答案]B[解析]∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长为.10基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理等腰三角形定义有相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫腰,第三边叫底边性质轴对称性:一般等腰三角形是轴对称图形,有条对称轴等腰三角形的两个底角相等(简称为)等腰三角形的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称为判定如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简称为)两边1等边对等角顶角三线合一等角对等边基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二等边三角形B1.[2019·天水]如图18-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,3)图18-2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2018·福建A卷]如图18-3,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°图18-3[答案]A[解析]∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD,AD是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB=45°,∴∠ACE=60°-45°=15°.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理等边三角形定义边都相等的三角形叫做等边三角形性质等边三角形是轴对称图形,有条对称轴等边三角形的内角都,且等于判定个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的三角形是等边三角形面积S△ABC=12ah=34a2,其中h=32a三3相等60°三等腰基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三角平分线的性质与判定1.[2019·潍坊]如图18-4,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连结CD.②分别以点C,D为圆心,以大于线段OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连结CE,DE.③连结OE交CD于点M.下列结论中错误的是()A.∠CEO=∠DEOB.CM=MDC.∠OCD=∠ECDC图18-4D.S四边形OCED=12CD·OE基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2019·湖州]如图18-5,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.42图18-5基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]B[解析]如图,过D点作DE⊥BA交BA的延长线于点E.又∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DC=DE=4.∵AB=6,BC=9,∴S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=12AB·DE+12BC·DC=12×6×4+12×9×4=12+18=30.故选B.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理相等1.性质:角平分线上的点到这个角两边的距离.2.判定:角的内部到角两边距离相等的点在这个角的上.平分线基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点四线段垂直平分线的性质与判定1.如图18-6所示,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,则下列结论不一定成立的是()A.AB=ADB.CA平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC图18-6C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2019·南充]如图18-7,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()A.8B.11C.16D.17图18-7B基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理相等1.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离.2.判定:到线段两端的距离相等的点在这条线段的上.垂直平分线基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一等腰三角形的性质与判定例1[2017·连云港]如图18-8,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连结BE,CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图18-8解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例1[2017·连云港]如图18-8,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连结BE,CD交于点F.(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图18-8解:(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系,由两边相等转化为两角相等是证明两角相等的常用方法;(2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2018·温州鹿城区模拟]如图18-9,在△ABC中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点E.(1)求证:DE=CE;(2)若∠CDE=35°,求∠A的度数.图18-9解:(1)证明:∵CD是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ECD.∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∴∠EDC=∠ECD,∴DE=CE.(2)∵∠ECD=∠EDC=35°,∴∠ACB=2∠ECD=70°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠A=180°-70°-70°=40°.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·重庆B卷]如图18-10,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.图18-10(方法二):∵AB=AC,∠C=42°,∴∠B=∠C=42°.∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.解:(1)(方法一):∵AB=AC,∠C=42°,∴∠B=∠C=42°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD⊥BC,∴∠BAD=12∠BAC=12×96°=48°.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·重庆B卷]如图18-10,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.图18-10解:(2)证明:∵EF∥AC,∴∠CAF=∠F,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠CAF=∠BAF,∴∠F=∠BAF,∴AE=FE.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二等腰三角形中的多解问题例2[2019·武威]定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=.[答案]85或14[解析]①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:180°-80°2=50°,∴特征值k=80°50°=85;②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°-80°-80°=20°,∴特征值k=20°80°=14.故答案为85或14.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高要考虑在形内和形外两种情况,故题中给出的条件不明确时,要进行分类讨论,才能避免漏解情况的发生.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2017·海南]已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.3条B.4条C.5条D.6条[答案]B[解析]如图所示,共有4种画法.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·徐州]函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个.[答案]4[解析]作AB的垂直平分线,交x轴于坐标原点,△OAB为等腰三角形;以B为圆心,BA长为半径画圆交x轴于C2,△C2AB为等腰三角形;以A为圆心,AB长为半径画圆,交x轴于C3,C4,则△C3AB,△C4AB为等腰三角形,所以满足条件的点C有4个.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究3.如图18-11,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,在矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点,若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为.图18-11[答案](2,4),(2.5,4),(3,4),(8,4)[解析]根据等腰三角形的性质:以O为圆心,OD长为半径画圆弧交BC于点P,求得P(3,4),再以D为圆心,DO长为半径画圆弧与BC有两个交点,坐标分别为(2,4),(8,4),最后作OD的垂直平分线交BC于点P,求得P(2.5,4).基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测图18-121.[2017·湖州]如图18-12,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于()A.1B.2C.32D.2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]A[解析]在Rt△ABC中,连结CP并延长交AB于点D,由三角形重心的性质得到,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1,即CP∶PD=2∶1.又∵AC=BC,∴在等腰直角三角形ABC中,由三线合一得到CD垂直平分线段AB,又∵AB=6,∴CD=3,点P到AB所在直线的距离即为PD的长度,即PD=1.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,则AB边的取值范围是()A.1cmAB4cmB.5cmAB10cmC.4cmAB8cmD.4cmAB10cmB基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]C图18-13[解析]在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,所以∠ABC=72°,∠A=36°,因为BC=BD,所以∠BDC=72°,所以∠ABD=36°,所以AD=BD=BC=5,故选C.3.[2018·雅安]已知:如图18-13,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=5,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为()A.22B.23C.5D.6基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测4.[2019·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图18-14所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°图18-14基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]D[解析]因为OC=CD=DE,所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED,所以∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O,∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD