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单元思维导图第29课时尺规作图基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一基本尺规作图[2019·长沙]如图29-1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠CAD的度数是()A.20°B.30°C.45°D.60°图29-1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]B[解析]在△ABC中,∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°,由作图可知MN为AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=30°,∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°,故选B.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理基本尺规作图(1)作一条线段等于已知线段,如图29-2.图29-2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测(2)作一个角等于已知角,如图29-3.(3)作已知角的平分线,如图29-4.图29-3图29-4基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测(4)作已知线段的垂直平分线,如图29-5.(5)过一点作已知直线的垂线,如图29-6.图29-5图29-6基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二利用尺规作图作三角形[2019·青岛]已知:∠α,直线l及l上两点A,B.求作:Rt△ABC,使点C在直线l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.解:如图所示:则Rt△ABC即为所求.图29-7基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理利用尺规作图作三角形(1)已知三边作三角形,如图29-8.(2)已知两边及其夹角作三角形,如图29-9.图29-8图29-9基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测(3)已知两角及其夹边作三角形,如图29-10.图29-10基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三与圆有关的尺规作图图29-11[2019·陇南]已知:在△ABC中,AB=AC.(1)求作:△ABC的外接圆.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,则S☉O=.解:(1)如图,☉O即为所求.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测图29-11[2019·陇南]已知:在△ABC中,AB=AC.(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,则S☉O=.[答案](2)25π[解析]设线段BC的垂直平分线交BC于点E.由题意可知,OE=4,BE=EC=3,在Rt△OBE中,OB=32+42=5,∴S☉O=π×52=25π.故答案为25π.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点A,B,C作圆(作△ABC的外接圆):分别作AB,BC的垂直平分线,两直线交于点O,则以O为圆心,OB为半径的圆O即为所求.(2)作三角形的内切圆:分别作∠ABC,∠ACB的平分线,两线交于点O,作点O到任意一边的垂线,垂足为M,则以O为圆心,OM为半径的圆为所求.(3)作圆的内接正方形:作圆的一条直径AC,作AC的垂直平分线,交圆于B,D两点,则四边形ABCD为所求.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一基本作图及其应用例1[2019·柳州]已知:∠AOB.求作:∠A'O'B',使得∠A'O'B'=∠AOB.作法:①以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;②画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';③以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.根据上面的作法,完成以下问题:基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图29-12(1)使用直尺和圆规,作出∠A'O'B'(请保留作图痕迹).(2)完成下面证明∠A'O'B'=∠AOB的过程(注:括号里填写推理的依据).证明:由作法可知O'C'=OC,O'D'=OD,D'C'=,∴△C'O'D'≌△COD(),∴∠A'O'B'=∠AOB().基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)如图所示,∠A'O'B'即为所求.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例1[2019·柳州]已知:∠AOB.求作:∠A'O'B',使得∠A'O'B'=∠AOB.作法:①以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;②画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';③以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.根据上面的作法,完成以下问题:基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(2)完成下面证明∠A'O'B'=∠AOB的过程(注:括号里填写推理的依据).证明:由作法可知O'C'=OC,O'D'=OD,D'C'=,∴△C'O'D'≌△COD(),∴∠A‘O’B'=∠AOB(____________________________).DCSSS全等三角形的对应角相等基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】解作图题的一般步骤:读题(阅读题中的已知与求作);分析(分析如何作图);作图(将待作图形按基本作图的步骤一一完成);证明(验证作图的正确性).基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|图29-131.[2019·泰州]如图29-13,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.解:(1)如图所示,直线l为AB的垂直平分线.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图29-131.[2019·泰州]如图29-13,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.解:(2)设AB的垂直平分线交AB于点E.连结AD,因为DE垂直平分AB,所以AD=BD,设AD=BD=x,则CD=8-x,在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,所以BD的长为5.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图29-142.[2019·宿迁]在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)如图29-14①,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求证:∠1=∠2.(2)在图②中作☉M,使它满足以下条件:①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:如图①,连结OF,∵AC是☉O的切线,∴OF⊥AC.∵∠C=90°,∴OF∥BC,∴∠1=∠OFB.∵OF=OB,∴∠OFB=∠2,∴∠1=∠2.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图29-142.[2019·宿迁]在Rt△ABC中,∠C=90°.(2)在图②中作☉M,使它满足以下条件:①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)如图②所示,☉M即为所求.[解析]作法:步骤一:作∠ABC的平分线交AC于F点,步骤二:作BF的垂直平分线交AB于M,以MB为半径作圆,则☉M即为所求.证明:∵M在BF的垂直平分线上,∴MF=MB,∴∠MBF=∠MFB.∵BF平分∠ABC,∴∠MBF=∠CBF,∴∠CBF=∠MFB,∴MF∥BC,∵∠C=90°,∴FM⊥AC,∴☉M与边AC相切.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二方格图中的尺规作图图29-15例2[2019·嘉兴]在6×6的方格纸中,点A,B,C都在格点上,按要求画图.(1)在图29-15①中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形;(2)在图②中仅用无刻度的直尺,把线段AB三等分(保留画图痕迹,不写画法).解:(1)画出图形如图①所示.(2)如图②所示.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|图29-16[2019·温州]如图29-16,在7×5的方格纸ABCD中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A,B,C,D重合.(1)在图①中画一个格点△EFG,使点E,F,G分别落在边AB,BC,CD上,且∠EFG=90°;(2)在图②中画一个格点四边形MNPQ,使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上,且MP=NQ.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)画法不唯一,如图①或如图②等.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图29-16[2019·温州]如图29-16,在7×5的方格纸ABCD中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A,B,C,D重合.(2)在图②中画一个格点四边形MNPQ,使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上,且MP=NQ.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)画法不唯一,如图③或如图④等.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测图29-171.[2019·河北]根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是()C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测图29-18C2.[2019·郴州]如图29-18,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于12AB长为半径画弧,在线段AB的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合),连结PA,PB,则下列结论不一定成立的是()A.PA=PBB.OA=OBC.OP=OFD.PO⊥AB基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测3.[2019·烟台]已知∠AOB=60°,以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB于点M,N,分别以M,N为圆心,以大于12MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC=15°,则∠BOC的度数为()A.15°B.45°C.15°或30°D.15°或45°基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]D[解析]由作图可得OP为∠AOB的平分线,所以∠AOP=∠BOP=12∠AOB=30°,因为∠POC=15°,考虑到点C可能在∠AOP内,也可能在∠BOP内,所以当点C在∠AOP内时,∠BOC=∠BOP+∠POC=45°;当点C在∠BOP内时,∠BOC=∠BOP-∠POC=15°.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测4.[2019·德州]如图29-19,∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠PAC=30°,AC=23.(1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在A,C两点分别与射线PB和PD相切.要求:写出作法,并保留作图痕迹;(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明;(3)求所得的劣弧与线段PA,PC围成的封闭图形的面积.图29-19基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测解:(1)作法:①过A,C分别作PB,PD的垂线,它们相交于点O;②以O为圆心,OA长为半径画圆,则劣弧AC即为所求.如图.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测4.[2019·德州]如图29-19,∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠PAC=30°,AC=23.(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明;图29-19基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测解：(2)已知:如图,∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠PAC=30°,AC=23,过A,C分别作PB,PD的垂线,它们相交于O,以OA为半径作☉O.求证:PB,PD为☉O的切线.证明:∵∠BPD=120°,∠PAC=30°,∴∠PCA=30°,∴PA=PC,连结OP,∵OA⊥PA,OC⊥PC,∴∠PAO=∠PCO=90°,∵OP=OP,∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL),∴OA=OC,∴PB,PD为☉O的切线.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测4.[2019·德州]如图29-19,∠BPD=120°,点A,