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第27课时直线与圆的位置关系基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一直线与圆的位置关系1.[2019·楚雄双柏县一模]已知☉O的半径是一元二次方程x2-5x-6=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=4,则直线l与☉O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.平行[答案]A[解析]解x2-5x-6=0,得x1=-1,x2=6.∵☉O的半径为一元二次方程x2-5x-6=0的根,∴r=6.∵dr,∴直线l与☉O的位置关系是相交.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆()A.与x轴相交,与y轴相切B.与x轴相离,与y轴相交C.与x轴相切,与y轴相交D.与x轴相切,与y轴相离C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和☉O相交⇔直线l和☉O相切⇔直线l和☉O相离⇔drd=rdr基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二切线的性质与判定图27-11.[2019·杭州]如图27-1,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=3,则PB=()A.2B.3C.4D.5B基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测2.[2019·无锡]如图27-2,PA是☉O的切线,切点为A,PO的延长线交☉O于点B,若∠P=40°,则∠B的度数为()A.20°B.25°C.40°D.50°B图27-2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测3.[2019·广州]平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线条数为()A.0条B.1条C.2条D.无数条C基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理定义当直线和圆有公共点时,这条直线叫做圆的切线判定到圆心的距离等于的直线是圆的切线经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线性质经过切点的半径圆的切线切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长垂直于唯一半径垂直于相等基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三三角形的内切圆[2019·台湾]如图27-3,直角三角形ABC的内切圆分别与AB,BC相切于D点,E点,根据图中标示的长度与角度,求AD的长度为何?()A.32B.52C.43D.53图27-3基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]D[解析]设AD=x,∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB,BC相切于D点,E点,∴BD=BE=1,∴AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,在Rt△ABC中,(x+1)2+52=(x+4)2,解得x=53,即AD的长度为53.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理三角形的外接圆三角形的内切圆图形圆心O为外心:三边垂直平分线的交点O为内心:三条角平分线的交点特征三角形各顶点均在圆上三角形各边均与圆相切基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测(续表)三角形的外接圆三角形的内切圆性质三角形外心到三角形_________的距离相等三角形内心到三角形的距离相等结论直角三角形外接圆圆心为斜边中点S△ABC=12r(a+b+c)(a,b,c为△ABC的三边,r为☉O的半径);∠BOC=90°+12∠A三个顶点三条边基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一圆的切线的判定图27-4例1[2019·乐山]如图27-4,直线l与☉O相离,OA⊥l于点A,与☉O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点,连结CP并延长交☉O于另一点B,且AB=AC.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若☉O的半径为3,求线段BP的长.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:如图,连结OB,则OP=OB,∴∠OBP=∠OPB=∠CPA.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵OA⊥l,∴∠OAC=90°,∴∠ACB+∠CPA=90°,∴∠ABP+∠OBP=90°,即∠ABO=90°,∴OB⊥AB,故AB是☉O的切线.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图27-4例1[2019·乐山]如图27-4,直线l与☉O相离,OA⊥l于点A,与☉O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点,连结CP并延长交☉O于另一点B,且AB=AC.(2)若☉O的半径为3,求线段BP的长.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)由(1)知:∠ABO=90°,而OA=5,OB=OP=3,由勾股定理,得:AB=4,过O作OD⊥PB于D,则PD=DB,在△ODP和△CAP中,∵∠OPD=∠CPA,∠ODP=∠CAP=90°,∴△ODP∽△CAP,∴𝑃𝐷𝑃𝐴=𝑂𝑃𝐶𝑃.又∵AC=AB=4,AP=OA-OP=2,∴PC=𝐴𝐶2+𝐴𝑃2=25,∴PD=𝑂𝑃·𝑃𝐴𝐶𝑃=355,∴BP=2PD=655.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】要证明一条直线是圆的切线有两种方法:若已知直线过圆上一点,则作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径;若直线与圆没有明确的公共点,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|图27-5[2019·衡阳]如图27-5,点A,B,C在半径为8的☉O上.过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D,连结BC,且∠BCA=∠OAC=30°.(1)求证:BD是☉O的切线;(2)求图中阴影部分的面积.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:连结OB交AC于E,∵∠BCA=30°,∴∠AOB=60°.在△AOE中,又∵∠OAC=30°,∴∠OEA=90°,∴OB⊥AC.∵BD∥AC,∴OB⊥BD.∵OB为☉O的半径,∴BD为☉O的切线.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图27-5[2019·衡阳]如图27-5,点A,B,C在半径为8的☉O上.过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D,连结BC,且∠BCA=∠OAC=30°.(2)求图中阴影部分的面积.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)由半径为8,得OA=OB=8.∵OB⊥BD,∴∠OBD=90°.∵∠AOB=60°,∴BD=BO·tan∠BOD=83.∴△OBD的面积为12×8×83=323,扇形OAB的面积为60π×82360=32π3,∴阴影部分的面积为323−32π3.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二圆的切线的性质图27-6例2[2019·金华]如图27-6,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点D.(1)求𝐵𝐷所对的圆心角的度数;(2)如图27-6,点E在☉O上,连结CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)连结OB.∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∵四边形OABC是平行四边形,∴OA∥BC,∴OB⊥OA.∴△AOB是等腰直角三角形.∴∠ABO=45°.∵OC∥AB,∴∠BOC=∠ABO=45°.∴𝐵𝐷所对的圆心角的度数为45°.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图27-6例2[2019·金华]如图27-6,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点D.(2)如图27-6,点E在☉O上,连结CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(2)连结OE,过点O作OH⊥EC于点H,设EH=t,∵OH⊥EC,∴EF=2HE=2t,∵四边形OABC是平行四边形,∴AB=CO=EF=2t,∵△AOB是等腰直角三角形,∴☉O的半径OA=2t.在Rt△EHO中,OH=𝑂𝐸2-𝐸𝐻2=2𝑡2-𝑡2=t,在Rt△OCH中,∵OC=2OH,∴∠OCE=30°.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】连结切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行与切线有关的证明和计算的常用方法.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|1.[2019·台州]如图27-7,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则☉O的半径为()A.23B.3C.4D.4-3图27-7基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]A[解析]设☉O与AB,AC分别切于点D,E,连结OD,OE,OA.∵☉O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∵OD=OE,∴∠DAO=∠EAO=30°.∵AB=AC,∴BO=CO=4,∴OD=OA·sin∠DAO=12OA.又∵在Rt△AOB中,AO=𝐴𝐵2-𝑂𝐵2=43,∴OD=23,故选A.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图27-82.[2019·眉山]如图27-8,在Rt△AOB中,OA=OB=42,☉O的半径为2,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ长的最小值为.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]23[解析]连结OQ,∵PQ是☉O的切线,∴OQ⊥PQ,根据勾股定理知:PQ2=OP2-OQ2,∴当PO⊥AB时,线段PQ最短,∵在Rt△AOB中,OA=OB=42,∴AB=2OA=8,∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP,即OP=𝑂𝐴·𝑂𝐵𝐴𝐵=4,∴PQ=𝑂𝑃2-𝑂𝑄2=42-22=23.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三三角形的内切圆图27-9例3如图27-9,∠C=90°,☉O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,连结OE,OF.AO的延长线交BC于点D,AC=6,CD=2.(1)求证:四边形OECF为正方形;(2)求☉O的半径;(3)求AB的长.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究解:(1)证明:∵AC,BC分别切☉O于点F,E,∴OF⊥AC,OE⊥BC.又∵∠C=90°,∴四边形OECF是矩形.又∵OE=OF,∴四边形OECF是正方形.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图27-9例3如图27-9,∠C=90°,☉O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,连结OE,OF.AO的延长线交BC于点D,AC=6,CD=2.(2)求☉O的半径;解:(2)设☉O的半径为r.连结OC,则S△ACD=S△AOC+S△OCD,∴12×6×2=12×6·r+12×2·r,解得r=32.即☉O的半径为32.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图27-9例3如图27-9,∠C=90°,☉O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,连结OE,OF.AO的延长线交BC于点D,AC=6,CD=2.(3)求AB的长.解:(3)由(1)知CF=CE=r=32,AG=AF=AC-CF=92.设BG=BE=x,则BC=32+x,AB=92+x.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴62+32+x2=92+x2,解得x=3,∴AB=152.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】解决三角形内切圆问题,常会用到切线长定理.另外,解决此类问题时,一般将条件转化到直角三角形中,利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|图27-101.[2018·威海]如图27-10,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D,☉E是△ACD的内切圆,连结AE,BE,则∠AEB的度数为.[答案]135°[解析]连结CE,∵∠ADC=90°,∴∠DAC+∠DCA=90°.∵☉E内切于△ADC,∴∠EAC+∠ECA=45°,∴∠AEC=135°.由题意可知△AEC≌△AEB,∴∠AEB=∠AEC=135°.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究图27-112.[2019·无锡]如图27-11,在△ABC中,AC∶BC∶AB=5∶12∶13,☉O在△ABC内自由移动,若☉O的半径为1,且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为103,则△ABC的周长为.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[答案]25[解析]如图,圆心O在△ABC内所能到达的区域是△O1O2O3,易得△ACB∽△O1O2O3,∴它的三边