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第7课时一元二次方程及其应用基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点一一元二次方程及其解法1.[2019·滨州]用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列变形正确的是()A.(x-2)2=1B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x-2)2=32.[2019·扬州]一元二次方程x(x-2)=x-2的根是.D1或2基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理1.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).其特征有:(1)只含有个未知数;(2)未知数的最高次数是;(3)整式方程.2.一元二次方程的解法有:①直接开平方法;②公式法;③配方法;④因式分解法.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=(b2-4ac≥0).一2-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点二一元二次方程根的判别式B1.[2019·淮安]若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k-1B.k-1C.k1D.k1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]A[解析]∵a=1,b=k,c=-2,∴Δ=b2-4ac=k2-4×1×(-2)=k2+80,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.2.[2019·盐城]关于x的一元二次方程x2+kx-2=0(k为实数)根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中:(1)b2-4ac0⇔方程的实根;(2)b2-4ac=0⇔方程的实根;(3)b2-4ac0⇔方程实数根.注:在应用一元二次方程根的判别式时,如果二次项系数中含有字母,需加上二次项系数不为0这一条件.有两个不相等有两个相等没有基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点三一元二次方程根与系数的关系(选学)A1.[2019·黄冈]若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为()A.-5B.5C.-4D.4基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测[答案]A2.[2019·潍坊]关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为()A.m=-2B.m=3C.m=3或m=-2D.m=3或m=2[解析]由题意可得:𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2=12,因为𝑥1+𝑥2=-2𝑚,𝑥1𝑥2=𝑚2+𝑚,所以(-2m)2-2(m2+m)=12,解得m1=3,m2=-2.当m=3时,Δ=62-4×1×120,所以m=3应舍去;当m=-2时,Δ=(-4)2-4×1×20,符合题意.所以m=-2,故选择A.基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理一元二次方程根与系数的关系:在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,两根x1,x2与系数a,b,c有如下关系:x1+x2=,x1·x2=.-𝒃𝒂𝒄𝒂基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测考点四一元二次方程的实际应用B1.[2019·衡阳]国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路,某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测(12-x)(8-x)=772.[2019·山西]如图7-1,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为.图7-1基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测知识梳理列方程解应用题的一般步骤:①审题;②设元;③列方程;④解方程;⑤检验并写出答案.注意要检验一元二次方程的解是否符合实际.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向一一元二次方程的解法例1(1)用指定方法解方程x2-2x-3=0.①公式法:②配方法:③因式分解法:解:(1)①a=1,b=-2,c=-3,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16.∵x=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎,∴x1=3,x2=-1.②变形得x2-2x=3,∴x2-2x+1=4,即(x-1)2=4,∴x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.③原方程可化为(x-3)(x+1)=0,∴x1=3,x2=-1.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究(2)[2017·丽水]解方程:(x-3)(x-1)=3.解:(2)原方程整理为x2-4x=0,即x(x-4)=0,∴x1=0,x2=4.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】①当方程的一边是完全平方式,另一边是常数或完全平方式时可用开平方法;②当方程常数项为零或一边为零,另一边容易分解因式(提取公因式、平方差公式分解、完全平方公式分解)时可用因式分解法;③当方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时,可选用配方法;④对一时不能确定解法的一元二次方程,化为一般形式后,根据情况选择适当的方法,公式法是通用方法.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向二一元二次方程根的判别式的应用例2关于x的方程mx2+x-m+1=0有以下三个结论:①当m=0时,方程只有一个实数解;②当m≠0时,方程有两个不等的实数解;③无论m取何值,方程都至少有一个负数解.其中正确的结论是(填序号).①③基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有实数根,∴Δ=(-6)2-4×1×(4m+1)≥0,解得m≤2.(2)∵方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1,x2,∴x1+x2=6,x1x2=4m+1,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42,即32-16m=16,解得m=1.[2019·黄石]已知关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有实数根.(1)求m的取值范围.(2)若该方程的两个实数根为x1,x2,且|x1-x2|=4,求m的值.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向三一元二次方程的实际应用例3[2019·广州]随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业.据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数量是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?(2)按照计划,求2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.解:(1)1.5×4=6(万座).答:计划到2020年底,全省5G基站的数量是6万座.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究例3[2019·广州]随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业.据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数量是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.(2)按照计划,求2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.(2)设2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,依题意,得:6(1+x)2=17.34,解得:x1=0.7=70%,x2=-2.7(舍去).答:2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究【方法点析】增长率问题:设a为原来的量,m为年平均增长率(或减少率),b为增长(或减少)后的量,n为年数,则可得等式a(1±m)n=b.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|261.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价元时,该商店每天销售利润为1200元.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究1.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(2)当每件商品降价元时,该商店每天销售利润为1200元.解:(2)10[解析]设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20.又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究2.[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究考向四一元二次方程与几何的综合问题图7-2例4数学文化[2018·嘉兴]欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:如图7-2,画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=𝑎2,AC=b,再在斜边AB上截取BD=𝑎2.则该方程的一个正根是()A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+𝑎22=b2+𝑎24,解得:x=±𝑏2+𝑎24−𝑎2,根据勾股定理知道AB=𝑏2+𝑎24,BD=𝑎2,所以根据图形知道AD=AB-BD,即AD的长是方程的一个正根,故选B.[答案]B基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究|考向精练|[2019·郑州二模]如图7-3,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图7-3所示),点P的速度为12cm/s,点Q的速度为1cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动,若使△PBQ的面积为154cm2,则点P运动的时间是()A.2sB.3sC.4sD.5s图7-3基础知识巩固当堂效果检测高频考向探究[解析]设动点P,Q运动t秒后,能使△PBQ的面积为154cm2,则BP为4-12tcm,BQ为tcm,由三角形的面积计算公式列方程得,124-12t×t=154,解得t1=3,t2=5(舍去,不合题意).∴动点P,Q运动3秒时,能使△PBQ的面积为154cm2.[答案]B基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测1.[2019·怀化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=22.[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为()A.k≥0B.k≥0且k≠2C.k≥32D.k≥32且k≠2CD基础知识巩固高频考向探究当堂效果检测D3.[2019·达州]某公司今年4月的营业额为2500万元,按计划第2季度的总营业额要达到9100万元,设该公司5,6两月的营业额的月平均增