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单元思维导图第1课时实数及其运算考点一实数的分类1.[2018·绍兴]如果向东走2m记为+2m,则向西走3m可记为()A.+3mB.+2mC.-3mD.-2m2.[2017·宁波]在3,12,0,-2这四个数中,为无理数的是()A.3B.12C.0D.-2CA1.分类(1)按定义分类:实数有理数整数正整数自然数负整数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数负无理数无限不循环小数0知识梳理分数正无理数(2)按符号分类:实数正实数负实数02.无理数的常见形式考点二实数的相关概念2.[2019·嘉兴]-2019的相反数是()A.2019B.-2019C.12019D.-12019AA1.[2019·绍兴]-5的绝对值是()A.5B.-5C.15D.-153.[2019·盐城]如图1-1,数轴上点A表示的数是()A.-1B.0C.1D.24.[2018·滨州]若数轴上点A,B分别表示数2,-2,则A,B两点之间的距离可表示为()A.2+(-2)B.2-(-2)C.(-2)+2D.(-2)-2CB图1-1知识梳理1.实数a的相反数是;若a与b互为相反数,则a+b=.2.实数a(a≠0)的倒数是;若a与b互为倒数,则ab=.注:0没有倒数;倒数等于它本身的数有-1,1.3.数轴的三要素:、、;数轴上的点与具有一一对应关系.-a01原点正方向单位长度实数𝟏𝒂4.|a|=(𝑎0),(𝑎=0),(𝑎0).注:|a|是一个非负数,即|a|≥0.5.|a|的几何意义:实数a在数轴上对应的点与之间的距离.a0-a原点考点三科学记数法与近似数1.[2019·湖州]据统计,龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次.用科学记数法可将238000表示为()A.238×103B.23.8×104C.2.38×105D.0.238×1062.[2019·烟台]某种计算机完成一次基本运算的时间为1纳秒(ns),已知1纳秒=0.000000001秒,该计算机完成15次基本运算,所用时间用科学记数法表示为()A.1.5×10-9秒B.15×10-9秒C.1.5×10-8秒D.15×10-8秒CC3.[2019·德州]据国家统计局统计,我国2018年国内生产总值(GDP)约为900300亿元.用科学记数法表示900300亿是()A.9.003×1012B.90.03×1012C.0.9003×1014D.9.003×10134.小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg,用四舍五入法将2.026精确到0.01为()A.2B.2.0C.2.02D.2.03DD知识梳理1.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.2.科学记数法:科学记数法就是把一个数表示成(1≤|a|10,n为整数)的形式.a×10n考点四实数的运算1.[2019·温州]计算:|-6|-9+(1-2)0-(-3).2.[2019·绍兴]计算:4sin60°+(π-2)0--12-2-12.解:原式=6-3+1+3=7.解:原式=4×32+1-4-23=-3.知识梳理实数的运算种类实数的运算包括加、减、乘、除、、,其中减法转化为运算,除法、乘方都转化为运算乘方零指数幂和负整数指数幂a0=(a≠0),a-p=(a≠0),a·a·…·an个a=,其中a叫做,n叫做.特别地,(-1)n=1(n为偶数),-1(n为奇数)特别地,a-1=1a(a≠0)乘方开方加法乘法an底数指数1𝟏𝒂𝒑(续表)实数的运算顺序先算,再算,最后算;如果有括号,就先算;同级运算,按照的顺序进行,能用运算律的可用运算律简化计算乘方、开方乘除加减括号里面的从左到右考点五实数的大小比较1.[2018·宁波]在-3,-1,0,1这四个数中,最小的数是()A.-3B.-1C.0D.12.[2019·攀枝花]在0,-1,2,-3这四个数中,绝对值最小的数是()A.0B.-1C.2D.-3AA3.[2019·泰安]在实数|-3.14|,-3,-3,π中,最小的数是()A.-3B.-3C.|-3.14|D.πB4.[2019·嘉兴]数轴上有两个实数a,b,且a0,b0,a+b0,则四个数a,b,-a,-b的大小关系为(用“”连结).[答案]b-aa-b[解析]因为a0,b0,故有ab.又因为a+b0,说明a的绝对值小于b的绝对值,故可得到b-aa-b.知识梳理方法结论利用法则正数零,负数零,正数负数;两个负数,绝对值大的数利用数轴在数轴上表示的两个实数,边的数总是比边的数大作差法a-b0⇔ab;a-b=0⇔ab;a-b0⇔ab平方法ab≥0⇔ab大于小于大于反而小右左=考向一实数与数轴例1[2019·枣庄]点O,A,B,C在数轴上的位置如图1-2所示,O为原点,AC=1,OA=OB,若点C所表示的数为a,则点B所表示的数为()A.-(a+1)B.-(a-1)C.a+1D.a-1图1-2[答案]B[解析]∵点C所表示的数为a,AC=1,点A在点C的左边,∴点A所表示的数为a-1.∵OA=OB,∴点A和点B所表示的数互为相反数,故点B所表示的数为-(a-1),故选B.【方法点析】(1)数轴上的点与实数一一对应,离原点越远的数,绝对值越大.表示互为相反数的两个点关于原点对称;(2)数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值.1.如图1-3,数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是-1,那么点B表示的数是()A.0B.1C.2D.3|考向精练|图1-3D2.如图1-4,在数轴上,点A(表示实数a)在原点的左侧,点B(表示实数b)在原点的右侧.若|a-b|=2017,且AO=2BO(O为原点),则a+b的值为.图1-4-𝟐𝟎𝟏𝟕𝟑考向二实数的运算例2[2019·常德]计算:6sin45°+|22-7|-12-3+(2019-2019)0.解:原式=6×22+7-22-8+1=2.|考向精练|1.[2019·金华]计算:|-3|-2tan60°+12+13-1.2.[2019·眉山]计算:13-2-(4-3)0+6sin45°-18.解:原式=3-23+23+3=6.解:原式=9-1+6×22-32=8+32-32=8.考向三实数与数字规律例3[2018·枣庄]将从1开始的连续自然数按如下规律排列:则2018在第行.第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817……[答案]45[解析]观察表格中数据可以发现,第n行有2n-1个数,奇数行最左边的数是行数的平方,偶数行最右边的数是行数的平方.由于442=19362018,452=20252018,∴2018在第45行.【方法点析】解决实数中出现的找规律问题的关键在于找出各数的共同点和不同点,从而准确地进行归纳总结,得出一般性结论.[2019·聊城]数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点A出发,按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处,第2次从点A1跳动到A1O的中点A2处,第3次从点A2跳动到A2O的中点A3处,按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,An(n≥3,n是整数)处,那么线段AnA的长度为(n≥3,n是整数).|考向精练|图1-5[答案]4-12𝑛-2[解析]∵AO=4,∴OA1=2,OA2=1,OA3=12,OA4=122,可推测OAn=12𝑛-2,∴AnA=AO-OAn=4-12𝑛-2.1.[2019·宁波]宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市,项目总投资为1526000000元人民币.数1526000000用科学记数法表示为()A.1.526×108B.15.26×108C.1.526×109D.1.526×1010C2.[2019·自贡]实数m,n在数轴上对应点的位置如图1-6所示,则下列判断正确的是()A.|m|1B.1-m1C.mn0D.m+10[答案]B[解析]由数轴可知,m-10,n10,∴|m|1,mn0,m+10,-m0,∴1-m1.∴选项A,C,D错误,正确的是选项B.图1-63.[2019·乐山]某地某天早晨的气温是-2℃,到中午升高了6℃,晚上又降低了7℃.那么晚上的温度是.-3℃4.如果m是最大的负整数,n是绝对值最小的有理数,c是倒数等于它本身的自然数,那么代数式m2015+2016n+c2017的值为.[答案]0[解析]∵m是最大的负整数,n是绝对值最小的有理数,c是倒数等于它本身的自然数,∴m=-1,n=0,c=1,∴m2015+2016n+c2017=(-1)2015+2016×0+12017=0.5.[2019·台州]砸“金蛋”游戏:把210个“金蛋”连续编号为1,2,3,…,210,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎,然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1,2,3,…,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎,…,按照这样的方法操作,直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止.操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共个.[答案]3[解析]∵210÷3=70,∴第一次砸碎编号是3的整数倍的金蛋个数为70个,剩下210-70=140(个)金蛋,重新编号为1,2,3,…,140;∵140÷3=46……2,∴第二次砸碎编号是3的整数倍的金蛋个数为46个,剩下140-46=94(个)金蛋,重新编号为1,2,3,…,94;∵94÷3=31……1,∴第三次砸碎编号是3的整数倍的金蛋个数为31个,剩下94-31=63(个)金蛋,∵6366,∴砸三次后,就不存在编号为“66”的金蛋,故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共3个.6.(1)[2019·衢州]计算:|-3|+(π-3)0-4+tan45°;(2)[2019·遂宁]计算:(-1)2019+(-2)-2+(3.14-π)0-4cos30°+|2-12|.解:(1)原式=3+1-2+1=3.(2)原式=-1+14+1-4×32+23-2=-74.