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第15课时二次函数的应用考点一二次函数与几何图形的综合应用已知矩形ABCD中,CD=2,AD=5,点P是边AD上的一个动点(与A,D不重合),过点P作PE⊥CP,交射线BA于点E.设PD=x,AE=y,则y与x的函数关系式为,x的取值范围为.图15-1[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°.∵PE⊥CP,∴∠EPC=90°,∴∠APE+∠CPD=90°,∵∠APE+∠AEP=90°,∴∠CPD=∠AEP,∴△APE∽△DCP,∴𝐴𝑃𝐷𝐶=𝐴𝐸𝐷𝑃.∵AD=5,PD=x,∴AP=5-x,∴5-𝑥2=𝑦𝑥,∴y=-12x2+52x.∵AD=5,点P与A,D不重合,∴0x5.[答案]y=-12x2+52x0x5知识梳理利用二次函数的相关性质结合几何图形求解某些问题的关键是找出几何图形中存在的相关关系,并能够用给定的条件将几个变量间的内在联系表示出来.考点二二次函数在实际生活中的应用[2019·山西]北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图15-2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为()A.y=26675x2B.y=-26675x2C.y=131350x2D.y=-131350x2图15-2[答案]B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2,由题可知,点A的坐标为(-45,-78),代入表达式可得:-78=a×(-45)2,解得a=-26675,∴二次函数的表达式为y=-26675x2,故选B.知识梳理利用二次函数解决生活中的实际问题时,一般先根据题意建立二次函数表达式,并确定自变量的取值范围,然后利用二次函数的图象与性质解决问题.考向一抛物线位置与a,b,c的符号关系例1[2018·滨州]如图15-3,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行的时间是多少?(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?图15-3解:(1)当y=15时有-5x2+20x=15,化简得x2-4x+3=0,故x=1或3,即飞行时间是1秒或者3秒.解:(2)飞出和落地的瞬间,高度都为0,故y=0.所以有0=-5x2+20x,解得x=0或4,所以从飞出到落地所用时间是4-0=4(秒).例1[2018·滨州]如图15-3,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?图15-3例1[2018·滨州]如图15-3,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?图15-3解：(3)当x=-𝑏2𝑎=-202×(-5)=2时,y=-5×22+20×2=20,故当x=2时,小球的飞行高度最大,最大高度为20米.【方法点析】解决此类问题的一般步骤:(1)合理建立直角坐标系,把已知数据转化为点的坐标;(2)根据题意,把所求问题转化为求最值或已知x的值(范围)求y的值(范围)的问题.|考向精练|[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-4所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.图15-4(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图15-4解:(1)∵抛物线的顶点为(3,5),∴设y=a(x-3)2+5,将(8,0)代入得a=-15,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5,即y=-15x2+65x+165(0x8).[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-4所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?图15-4解:(2)当y=1.8时,即1.8=-15(x-3)2+5,解得x1=7,x2=-1(舍去).答:王师傅必须站在离水池中心7米以内.[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-4所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图15-4解：(3)由y=-15x2+65x+165可得原抛物线与y轴的交点为0,165,∵装饰物的高度不变,∴新抛物线也经过0,165,∵喷水柱的形状不变,∴a=-15.∵直径扩大到32米,∴新抛物线过点(16,0).设新抛物线的表达式为y新=-15x2+bx+c(0x16),将0,165和(16,0)代入得b=3,c=165,∴y新=-15x2+3x+165,即y新=-15x-1522+28920,当x=152时,y新=28920.答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米.考向二二次函数与生产、生活的综合例2[2019·嘉兴]某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系:如图15-5①,当10≤t≤25时可近似用函数p=150t-15刻画;当25≤t≤37时可近似用函数p=-1160(t-h)2+0.4刻画.(1)求h的值.①图15-5生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m(天)051015①图15-5(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系:①请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式;②请用含t的代数式表示m.①②图15-5(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20℃时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图②.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).解:(1)把(25,0.3)代入p=-1160(t-h)2+0.4,得h=29或h=21.∵h25,∴h=29.例2[2019·嘉兴]某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系:如图15-5①,当10≤t≤25时可近似用函数p=150t-15刻画;当25≤t≤37时可近似用函数p=-1160(t-h)2+0.4刻画.生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m(天)051015①图15-5生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m(天)051015①图15-5(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系:①请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式;②请用含t的代数式表示m.解:(2)①由表格可知m是p的一次函数,∴m=100p-20.②当10≤t≤25时,p=150t-15,∴m=100150t-15-20=2t-40.当25≤t≤37时,p=-1160(t-29)2+0.4.∴m=100-1160(t-29)2+0.4-20=-58(t-29)2+20.例2[2019·嘉兴]某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系:如图15-5①,当10≤t≤25时可近似用函数p=150t-15刻画;当25≤t≤37时可近似用函数p=-1160(t-h)2+0.4刻画.①②图15-5①②图15-5(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20℃时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图②.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).(3)(i)当20≤t≤25时,由(20,200),(25,300),得w=20t-200,∴增加利润为600m+[200×30-w(30-m)]=40t2-600t-4000.∴当t=25时,增加利润的最大值为6000元.(ii)当25≤t≤37时,w=300.增加利润为600m+[200×30-w(30-m)]=900×-58·(t-29)2+15000=-11252(t-29)2+15000,∴当t=29时,增加利润的最大值为15000元.综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加利润的最大值为15000元.【方法点析】利用二次函数解决日常生活问题,首先根据图表或图象中的信息建立函数表达式,然后利用二次函数求最值,有时需分段进行.|考向精练|某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.25考向三二次函数与几何图形的综合图15-6例3[2019·盐城]如图15-6所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x轴、y轴交于C,D两点,其中,k0.(1)求A,B两点的横坐标;(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.解:(1)∵A,B是抛物线y=k(x-1)2+2与直线y=kx-k+2的交点,∴𝑦=𝑘(𝑥-1)2+2,𝑦=𝑘𝑥-𝑘+2,∴k(x-1)2+2=k(x-1)+2,∴k(x-1)(x-2)=0.∴x1=1,x2=2,∴𝑥1=1,𝑦1=2,𝑥2=2,𝑦2=𝑘+2.∵B点在A点的右侧,∴A(1,2),B(2,2+k),A点横坐标是1,B点横坐标是2.图15-6例3[2019·盐城]如图15-6所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x轴、y轴交于C,D两点,其中,k0.(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;解:(2)由(1)可知A(1,2),B