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第14课时二次函数的图象与性质(二)考点一抛物线的位置与a,b,c的符号关系[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-1所示,下列结论:①ac0;②b-2a0;③b2-4ac0;④a-b+c0.正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②④图14-1[答案]A[解析]∵抛物线开口向下,且与y轴的正半轴相交,∴a0,c0,∴ac0,故①正确;∵对称轴在-1至-2之间,∴-2-𝑏2𝑎-1,∴4ab2a,∴b-2a0,故②正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac0,故③错误;∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴④错误.∴正确的说法是①②.故选A.知识梳理1.a的符号看开口:开口,则a0;开口,则a0.向上2.b的符号看对称轴:若对称轴在y轴右侧,即x=-𝑏2𝑎0,则a,b异号;若对称轴在y轴左侧,即x=-𝑏2𝑎0,则a,b同号;若对称轴是y轴,即x=-𝑏2𝑎=0,则b=0.向下3.c的符号看与y轴的交点:抛物线与y轴交于正半轴,则c0;抛物线与y轴交于负半轴,则c0;抛物线经过原点,则c=0.考点二二次函数与一元二次方程的关系A1.[2018·襄阳]已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m≤5B.m≥2C.m5D.m22.如图14-2,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直线x=-1,则方程ax2+bx+c=0的解是()A.x1=-3,x2=1B.x1=3,x2=1C.x=-3D.x=-2图14-2[答案]A[解析]∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1,0),对称轴为直线x=-1,∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是(-3,0),∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是:x1=-3,x2=1.知识梳理对于抛物线y=ax2+bx+c,令y=0,得ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式Δ=b2-4ac的符号关于x的方程ax2+bx+c=0的实数根的情况2个Δ0两个实数根1个Δ=0两个实数根没有Δ0实数根不相等的相等的没有特别提醒当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c;当a+b+c0,即x=1时,y0;当a-b+c0,即x=-1时,y0.考向一抛物线位置与a,b,c的符号关系例1[2019·凉山州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图14-3所示,有以下结论:①3a-b=0;②b2-4ac0;③5a-2b+c0;④4b+3c0,其中错误结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图14-3[答案]A[解析]根据对称轴-𝑏2𝑎=-32得b=3a,故可得3a-b=0,所以结论①正确;由于抛物线与x轴有两个不同的交点,所以b2-4ac0,结论②正确,∵b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知a0,c0,∴5a-2b+c=-a+c0,结论③正确;根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两点),所以当x=1时,y=a+b+c0,∵a=13b,∴43b+c0,∴4b+3c0,所以结论④错误.故选A.【方法点析】二次函数图象的特征主要从开口方向、对称轴、与x轴的交点、与y轴的交点入手,确定a,b,c及b2-4ac的符号,有时要把x的特殊值代入,根据图象确定y的符号.常用特殊值:x=1时,y=a+b+c;x=-1时,y=a-b+c;x=2时,y=4a+2b+c等.|考向精练|1.如图14-4是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1.对于下列说法:①当-1x3时,y0;②ab0;③2a+b=0;④3a+c0,其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④图14-4[答案]C[解析]由图象知当-1x3时,y不只是大于0.故①错误;∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴ab0,故②正确;∵对称轴x=-𝑏2𝑎=1,∴2a+b=0,故③正确;∵2a+b=0,∴b=-2a,∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴a-(-2a)+c=3a+c0,故④错误.2.[2019·随州]如图14-5所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:①abc0;②a+12b+14c0;③ac+b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个图14-5[答案]C[解析]抛物线开口向下,则a0,又对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=1,则b=-2a0,抛物线与y轴交点C在y轴正半轴,则c0,∴abc0,故①正确;根据对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的交点A在x轴负半轴,则当x=2时,y0,即4a+2b+c0,∴a+12b+14c0,故②正确;∵OA=OC=c,∴A(-c,0),则ac2+b(-c)+c=0,∴ac-b+1=0,∴ac+b+1=ac-b+1+2b=2b0,故③错误;∵A(-c,0),对称轴为x=1,∴B(2+c,0),∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,故④正确.综上所述,①②④正确.故选C.考向二二次函数与一元二次方程、不等式的关系例2[2019·梧州]已知m0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.x1-12x2B.-1x12x2C.-1x1x22D.x1-1x22[答案]A[解析]关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2可以看作二次函数m=(x+1)(x-2)的图象与x轴交点的横坐标,∵二次函数m=(x+1)(x-2)的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),如图:当m0时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时x-1或x2.又∵x1x2,∴x1-1,x22,∴x1-12x2,故选A.【方法点析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根;结合开口方向和图象位置,y0和y0时相应x的范围即为不等式ax2+bx+c0(a≠0)和ax2+bx+c0(a≠0)的解集.|考向精练|1.[2019·潍坊]抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2≤t11B.t≥2C.6t11D.2≤t6[答案]A[解析]方法一:由题意得:-𝑏2×1=1,b=-2,抛物线解析式为y=x2-2x+3,当-1x4时,其图象如图所示:从图象可以看出当2≤t11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是2≤t11,故选A.方法二:把y=x2-2x+3(-1x4)的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始有交点,向下平移11个单位时开始无交点,故2≤t11,故选A.图14-62.[2019·济宁]如图14-6,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+cn的解集是.[答案]x-3或x1[解析]∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,∴-m+n=p,3m+n=q,∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1,p),Q(-3,q)两点,观察函数图象可知:当x-3或x1时,直线y=-mx+n在抛物线y=ax2+c的下方,∴不等式ax2+mx+cn的解集为x-3或x1.考向三二次函数、反比例函数、一次函数的综合图14-7例3如图14-7所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(1)求过O,B,E三点的抛物线的函数表达式;(2)求直线DE的表达式和点M的坐标;(3)若反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象经过点M,求反比例函数的表达式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上.解:(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.把O(0,0),B(4,2),E(6,0)的坐标代入y=ax2+bx+c,可求得a=-14,b=32,c=0,∴y=-14x2+32x.图14-7例3如图14-7所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(2)求直线DE的表达式和点M的坐标;解:(2)设直线DE的表达式为y=kx+b'.∵点D,E的坐标为(0,3),(6,0),∴3=𝑏',0=6𝑘+𝑏',解得𝑘=-12,𝑏'=3,∴y=-12x+3.∵点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,∴点M的纵坐标为2.又∵点M在直线y=-12x+3上,∴2=-12x+3,解得x=2,∴M(2,2).图14-7例3如图14-7所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(3)若反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象经过点M,求反比例函数的表达式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上.解:(3)∵反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象经过点M(2,2),∴m=4,即y=4𝑥.又∵点N在BC边上,B(4,2),∴点N的横坐标为4.∵点N在直线y=-12x+3上,∴y=1,∴N(4,1).∵当x=4时,y=4𝑥=1,∴点N在函数y=4𝑥的图象上.|考向精练|1.[2019·自贡]一次函数y=ax+b与反比例函数y=𝑐𝑥的图象如图14-8所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是()图14-9图14-8[答案]A[解析]∵双曲线y=𝑐𝑥经过第一、三象限,∴c0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二、四象限,∴a0,b0,即-𝑏2𝑎0.∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下,对称轴在y轴的右侧.故选A.2.[2019·遂宁]如图14-10,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O落在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=12𝑥(x0)经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的解析式为.(填一般式)图14-10[解析]∵矩形OABC,C(0,3),∴B点的纵坐标为3,∵反比例函数y=12𝑥经过点B,∴B(4,3),A(4,0),∴OA=4,∵C(0,3),∴OC=3,∴Rt△ACO中,AC=5.设G(m,0),则OG=m.由折叠的性质得GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2,AG=4-m,∴Rt△AGP中,m2+22=(4-m)2,∴m=32,∴G32,0.∵A(4,0),C(0,3),G32,0,∴解析式为y=12x2-114x+3.[答案]y=12x2-114x+31.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有