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第7课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法1.[2019·滨州]用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列变形正确的是()A.(x-2)2=1B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x-2)2=32.[2019·扬州]一元二次方程x(x-2)=x-2的根是.D1或2知识梳理1.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).其特征有:(1)只含有个未知数;(2)未知数的最高次数是;(3)整式方程.2.一元二次方程的解法有:①直接开平方法;②公式法;③配方法;④因式分解法.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=(b2-4ac≥0).一2-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式B1.[2019·淮安]若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k-1B.k-1C.k1D.k1[答案]A[解析]∵a=1,b=k,c=-2,∴Δ=b2-4ac=k2-4×1×(-2)=k2+80,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.2.[2019·盐城]关于x的一元二次方程x2+kx-2=0(k为实数)根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定知识梳理一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中:(1)b2-4ac0⇔方程的实根;(2)b2-4ac=0⇔方程的实根;(3)b2-4ac0⇔方程实数根.注:在应用一元二次方程根的判别式时,如果二次项系数中含有字母,需加上二次项系数不为0这一条件.有两个不相等有两个相等没有考点三一元二次方程根与系数的关系(选学)A1.[2019·黄冈]若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为()A.-5B.5C.-4D.4[答案]A2.[2019·潍坊]关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为()A.m=-2B.m=3C.m=3或m=-2D.m=3或m=2[解析]由题意可得:𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2=12,因为𝑥1+𝑥2=-2𝑚,𝑥1𝑥2=𝑚2+𝑚,所以(-2m)2-2(m2+m)=12,解得m1=3,m2=-2.当m=3时,Δ=62-4×1×120,所以m=3应舍去;当m=-2时,Δ=(-4)2-4×1×20,符合题意.所以m=-2,故选择A.知识梳理一元二次方程根与系数的关系:在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,两根x1,x2与系数a,b,c有如下关系:x1+x2=,x1·x2=.-𝒃𝒂𝒄𝒂考点四一元二次方程的实际应用B1.[2019·衡阳]国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路,某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=1(12-x)(8-x)=772.[2019·山西]如图7-1,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为.图7-1知识梳理列方程解应用题的一般步骤:①审题;②设元;③列方程;④解方程;⑤检验并写出答案.注意要检验一元二次方程的解是否符合实际.考向一一元二次方程的解法例1(1)用指定方法解方程x2-2x-3=0.①公式法:②配方法:③因式分解法:解:(1)①a=1,b=-2,c=-3,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16.∵x=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎,∴x1=3,x2=-1.②变形得x2-2x=3,∴x2-2x+1=4,即(x-1)2=4,∴x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.③原方程可化为(x-3)(x+1)=0,∴x1=3,x2=-1.(2)[2017·丽水]解方程:(x-3)(x-1)=3.解:(2)原方程整理为x2-4x=0,即x(x-4)=0,∴x1=0,x2=4.【方法点析】①当方程的一边是完全平方式,另一边是常数或完全平方式时可用开平方法;②当方程常数项为零或一边为零,另一边容易分解因式(提取公因式、平方差公式分解、完全平方公式分解)时可用因式分解法;③当方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时,可选用配方法;④对一时不能确定解法的一元二次方程,化为一般形式后,根据情况选择适当的方法,公式法是通用方法.考向二一元二次方程根的判别式的应用例2关于x的方程mx2+x-m+1=0有以下三个结论:①当m=0时,方程只有一个实数解;②当m≠0时,方程有两个不等的实数解;③无论m取何值,方程都至少有一个负数解.其中正确的结论是(填序号).①③|考向精练|解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有实数根,∴Δ=(-6)2-4×1×(4m+1)≥0,解得m≤2.(2)∵方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1,x2,∴x1+x2=6,x1x2=4m+1,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42,即32-16m=16,解得m=1.[2019·黄石]已知关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有实数根.(1)求m的取值范围.(2)若该方程的两个实数根为x1,x2,且|x1-x2|=4,求m的值.考向三一元二次方程的实际应用例3[2019·广州]随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业.据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数量是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?(2)按照计划,求2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.解:(1)1.5×4=6(万座).答:计划到2020年底,全省5G基站的数量是6万座.例3[2019·广州]随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业.据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数量是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.(2)按照计划,求2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.(2)设2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,依题意,得:6(1+x)2=17.34,解得:x1=0.7=70%,x2=-2.7(舍去).答:2020年底至2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.【方法点析】增长率问题:设a为原来的量,m为年平均增长率(或减少率),b为增长(或减少)后的量,n为年数,则可得等式a(1±m)n=b.|考向精练|261.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价元时,该商店每天销售利润为1200元.1.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(2)当每件商品降价元时,该商店每天销售利润为1200元.解:(2)10[解析]设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20.又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.2.[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.考向四一元二次方程与几何的综合问题图7-2例4数学文化[2018·嘉兴]欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:如图7-2,画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=𝑎2,AC=b,再在斜边AB上截取BD=𝑎2.则该方程的一个正根是()A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长[解析]利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+𝑎22=b2+𝑎24,解得:x=±𝑏2+𝑎24−𝑎2,根据勾股定理知道AB=𝑏2+𝑎24,BD=𝑎2,所以根据图形知道AD=AB-BD,即AD的长是方程的一个正根,故选B.[答案]B|考向精练|[2019·郑州二模]如图7-3,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图7-3所示),点P的速度为12cm/s,点Q的速度为1cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动,若使△PBQ的面积为154cm2,则点P运动的时间是()A.2sB.3sC.4sD.5s图7-3[解析]设动点P,Q运动t秒后,能使△PBQ的面积为154cm2,则BP为4-12tcm,BQ为tcm,由三角形的面积计算公式列方程得,124-12t×t=154,解得t1=3,t2=5(舍去,不合题意).∴动点P,Q运动3秒时,能使△PBQ的面积为154cm2.[答案]B1.[2019·怀化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=22.[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为()A.k≥0B.k≥0且k≠2C.k≥32D.k≥32且k≠2CDD3.[2019·达州]某公司今年4月的营业额为2500万元,按计划第2季度的总营业额要达到9100万元,设该公司5,6两月的营业额的月平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是()A.2500(1+x)2=9100B.2500(1+x%)2=9100C.2500(1+x)+2500(1+x)2=9100D.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=91004.[2019·连云港]已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1𝑎+c的值等于.[答案]2[解析]根据题意得Δ=4-4a(2-c)=0,整理得4ac-8a=-4,4a(c-2)=-4,∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程,∴a≠0,等式两边同时除以4a,得c-2=-1𝑎,则1𝑎+c=2.5.[浙教版教材八下P41例3]如图7-4①,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图②的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是cm.图7-4[答案]5[解析]设纸盒的高为xcm,则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm.由题意,得(40-2x)(25-2x)=450,化简整理,得2x2-65x+275=0,解这个方程,得x1=5,x2=27.5(不合题意