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第6课时分式方程及其应用考点一分式方程的相关概念1.若x=3是分式方程𝑎-2𝑥−1𝑥-2=0的根,则a的值是()A.5B.-5C.3D.-3[答案]A[解析]根据方程根的意义,将x=3代入分式方程,得𝑎-23-1=0,即转换成关于a的一元一次方程,解得a=5.故选A.2.[2018·潍坊]当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.[答案]2[解析]方程两边同乘(x-3),得:x-5=-m,所以x=5-m.若方程会产生增根,则增根为x=3,所以5-m=3,解得m=2.知识梳理1.分式方程:分母里含有的方程叫做分式方程.2.增根:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,使方程中的分母为,因此解分式方程要验根,其方法是把根代入最简公分母中看最简公分母是不是为,不是,则为原方程的根,反之则为增根.未知数零零考点二解分式方程的基本步骤1.[2019·淄博]解分式方程1-𝑥𝑥-2=12-𝑥-2时,去分母变形正确的是()A.-1+x=-1-2(x-2)B.1-x=1-2(x-2)C.-1+x=1+2(2-x)D.1-x=-1-2(x-2)D2.[2019·南京]解方程:𝑥𝑥-1-1=3𝑥2-1.解:方程两边都乘以(x+1)(x-1)去分母得,x(x+1)-(x2-1)=3,即x2+x-x2+1=3,解得x=2.检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)=3≠0,∴x=2是原方程的解,故原分式方程的解是x=2.知识梳理解分式方程的基本步骤:(1)去分母:在方程的两边都,约去分母,化成;(2)解这个整式方程;(3)求根;(4)验根.乘最简公分母整式方程考向一分式方程的解法例1(1)解分式方程:𝑥-2𝑥-1+2=21-𝑥.解:(1)由𝑥-2𝑥-1+2=21-𝑥得𝑥-2𝑥-1+2=-2𝑥-1,方程两边同乘(x-1),得x-2+2(x-1)=-2,解得x=23,检验:当x=23时,x-1≠0,所以x=23是原分式方程的解,所以原分式方程的解为x=23.(2)[2019·广安]解分式方程:𝑥𝑥-2-1=4𝑥2-4𝑥+4.解:(2)𝑥𝑥-2-1=4𝑥2-4𝑥+4,方程两边乘(x-2)2得x(x-2)-(x-2)2=4,解得x=4,检验:当x=4时,(x-2)2≠0.所以原分式方程的解为x=4.【方法点析】解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.|考向精练|1.[2019·岳阳]分式方程1𝑥=2𝑥+1的解为x=.2.[2019·徐州改编]方程𝑥-2𝑥-3+1=23-𝑥的解为.1x=𝟑𝟐考向二分式方程的应用例2[2019·威海]列方程解应用题:小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1200米,3000米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍,若二人同时到达,则小明需提前4分钟出发,求小明和小刚两人的速度.解:设小明的速度为x米/分,则小刚的速度为3x米/分,根据题意,得1200𝑥−30003𝑥=4,解得x=50,经检验,x=50是分式方程的解且符合题意,所以3x=150.答:小明的速度为50米/分,小刚的速度为150米/分.|考向精练|1.[2019·广州]甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是()A.120𝑥=150𝑥-8B.120𝑥+8=150𝑥C.120𝑥-8=150𝑥D.120𝑥=150𝑥+8D2.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.(1)求A,B两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?解:(1)设B种粽子单价为x元,则A种粽子单价为1.2x元,因为购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同,共花费3000元,所以两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500𝑥+15001.2𝑥=1100,解得x=2.5.经检验,x=2.5是原分式方程的解.1.2x=3.答:A种粽子单价为3元,B种粽子单价为2.5元.2.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?解:(2)设购进A种粽子y个,则购进B种粽子(2600-y)个,根据题意得:3y+2.5(2600-y)≤7000,解得:y≤1000.∴y的最大值为1000,故A种粽子最多能购进1000个.1.[2019·滨州]方程𝑥-3𝑥-2+1=32-𝑥的解是.x=1-12.若分式方程𝑥𝑥-1−𝑚1-𝑥=2无解,则m=.3.[2019·宿迁]关于x的分式方程1𝑥-2+𝑎-22-𝑥=1的解为正数,则a的取值范围是.[答案]a5且a≠3[解析]去分母得:1-a+2=x-2,解得x=5-a,5-a0,解得a5,当x=5-a=2时,a=3不合题意,故a5且a≠3.104.[2019·绵阳]一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间与以最大航速逆流航行60km所用时间相同,则江水的流速为km/h.5.[浙教版教材七下P139第11题]解方程:𝑥+1𝑥2-2𝑥+1+2𝑥-1=0.解:去分母,得x+1+2(x-1)=0,合并同类项,得3x-1=0,解得x=13.经检验,x=13是原方程的解.故原方程的解是x=13.6.[浙教版教材七下P139第15题]某商店3月份购进一批T恤衫,进价合计12万元.因畅销,商店又于4月份购进一批同品牌T恤衫,进价合计18.75万元,数量是3月份的1.5倍,但每件进价涨了5元.这两批T恤衫开始都以每件180元出售,到5月初,商店把剩下的100件打八折出售,很快售完.问商店共获毛利润(销售收入减去进价总计)多少元?解:设3月份购进T恤衫x件,根据题意,得1875001.5𝑥−120000𝑥=5,解得x=1000.经检验,x=1000是原分式方程的解且符合题意.∴4月份购进1.5×1000=1500(件)T恤衫,∴毛利润为(2400×180+100×180×80%)-(120000+187500)=138900(元).答:商店共获毛利润138900元.