四川省绵阳市2015届高三第一次诊断试题-数学理-Word含答案

保密★启用前【考试时间：2014年10月31日15:00—17:00】绵阳市高中2012级第一次诊断性考试数学（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。第I卷1至2页，第II卷2至4页.共4页。满分150分。考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第I卷共10小题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A)(B){2}(C){0}(D){-1}2．下列说法中正确的是(A)命题“)0(，x，12x”的否定是“)0(0，x，02x≤1”(B)命题“)0(，x，12x”的否定是“)0(0，x，02x≤1”(C)命题“若ba，则22ba”的逆否命题是“若22ba，则ba”(D)命题“若ba，则22ba”的逆否命题是“若2a≥2b，则a≥b”3．设各项均不为0的数列{an}满足nnaa21(n≥1)，Sn是其前n项和，若5422aaa，则S4=(A)42(B)28(C)233(D)2664．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则DBAD=(A)-3(B)3(C)3(D)35．已知53)4cos(x，那么sin2x=(A)2518(B)2524(C)257(D)257ABCDEF6．已知x，y满足，，，0330101yxyxyx则2x-y的最大值为(A)1(B)2(C)3(D)4．已知x∈[，]，则“x∈]22[，”是“sin(sinx)cos(cosx)成立”的(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)既不充分也不必要条件8．)(xf是定义在非零实数集上的函数，)(xf为其导函数，且0x时，0)()(xfxfx，记5log)5(log2.0)2.0(2)2(22222.02.0fcfbfa，，，则(A)cba(B)cab(C)bac(D)abc9．已知函数0)10(log01)2sin()(xaaxxxxfa，，且，，的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是(A))330(，(B))155(，(C))133(，(D))550(，10．已知ba，R，且1xe≥bax对x∈R恒成立，则ab的最大值是(A)321e(B)322e(C)323e(D)3e第II卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第II卷共11小题。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若31tan，则cossin2cos2sin3_______．12．已知向量a=(1，2)，b=(2，0)，若向量λa+b与向量c=(1，-2)共线，则实数λ=______．13．某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C=100+4q，销售单价p与产量q的函数关系式为qp16125．要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于_______．14．已知函数f(x)=1223xx，则f(20151)＋f(20152)＋f(20153)＋…＋f(20152014)=______．15．定义：如果函数)(xfy在定义域内给定区间][ba，上存在)(00bxax，满足abafbfxf)()()(0，则称函数)(xfy是][ba，上的“平均值函数”，0x是它的一个均值点．例如y=|x|是]22[，上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数1cos)(xxf是]22[，上的“平均值函数”．②若)(xfy是][ba，上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥2ba．③若函数1)(2mxxxf是]11[，上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是)20(，m．④若xxfln)(是区间[a，b](ba≥1)上的“平均值函数”，0x是它的一个均值点，则abx1ln0．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω0，函数)(xf2m·n-1的最小正周期为π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求函数)(xf在[6，4]上的最大值．17．（本小题满分12分）已知函数f(t)=log2(2-t)+1t的定义域为D．(Ⅰ)求D；(Ⅱ)若函数g(x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值．18．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，51cos5ABCAB，．(Ⅰ)若2BC，求ACBsin的值；(Ⅱ)若D是边AC中点，且27BD，求边AC的长．19．（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列}{na的前n项和为nS，93S，853aaa，，成等比数列．BCDA(Ⅰ)求数列}{na的通项公式na及nS；(Ⅱ)若)2(2nnnac，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列}{nc为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数1)(axexfx(e为自然对数的底数)，a0．(Ⅰ)若函数)(xf恰有一个零点，证明：1aaea；(Ⅱ)若)(xf≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．21．（本小题满分14分）已知函数xenxmxfln)((m，n为常数，71828.2e…是自然对数的底数)，曲线)(xfy在点))1(1(f，处的切线方程是ey2．(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)求)(xf的单调区间；(Ⅲ)设2)1ln()()(xexfxgx(其中)(xf为)(xf的导函数)，证明：对任意0x，21)(exg．绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DBDACBCCDA10题提示：由1xe≥bax对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤1xe-ax．若a=0，则ab=0．若a0，则ab≤a1xe-a2x．设函数)(xfxaaex21，求导求出f(x)的最小值为aaaafln2)1(ln22．设)0(ln2)(22aaaaag，求导可以求出g(a)的最大值为32321)(eeg，即ab的最大值是321e，此时232321ebea，．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．5312．-113．4014．302115．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：xxf)(在区间[0，6]上．③正确．由定义：21020mmmxx得1)1(10020xmmxx，又0x)11(，所以实数m的取值范围是)20(，m．④正确．理由如下：由题知ababxlnlnln0．要证明abx1ln0，即证明：baabababababababln1lnln，令1tab，原式等价于01ln21ln2tttttt．令)1(1ln2)(ttttth，则0)1(12112)(22222tttttttth，所以0)1(1ln2)(htttth得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ))(xf2m·n-11cos2cossin22xxx=)42sin(22cos2sinxxx．……………………………6分由题意知：T，即22，解得1．…………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知)42sin(2)(xxf，∵6≤x≤4，得127≤42x≤43，又函数y=sinx在[127，43]上是减函数，∴)34sin(2127sin2)(maxxf…………………………………10分3sin4cos23cos4sin2=213．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ)由题知，，0102tt解得21t，即)21[，D．……………………3分(Ⅱ)g(x)=x2+2mx-m2=222)(mmx，此二次函数对称轴为mx．……4分①若m≥2，即m≤-2时，g(x)在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21m，即12m时，g(x)在)1[m，上单调递减，]2(，m上递增，此时22)()(2minmmgxg，此时m值不存在；③m≤1即m≥-1时，g(x)在)21[，上单调递增，此时221)1()(2minmmgxg，解得m=1．…………………………11分综上：1m．…………………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ)51cos5ABCAB，，2BC，由余弦定理：ABCBCBABCBAACcos2222=52+22-2×5×2×51=25，5AC．……………………………………………………………………3分又(0,)ABC，所以562cos1sin2ABCABC，由正弦定理：ABCACACBABsinsin，得562sinsinACABCABACB．………………………………………6分(Ⅱ)以BCBA，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则51coscosABCBCE，BE=2BD=7，CE=AB=5，在△BCE中，由余弦定理：BCECECBCECBBEcos2222．即)51(5225492CBCB，解得：4CB．………………………………………………………………10分在△ABC中，335145245cos222222ABCBCBABCBAAC，即33AC．…………………………………………………………………12分19．解：(Ⅰ)由832539aaaS，，得：，，)7()2()4(9223311211dadadada解得：121da，．∴1nan，nnnnSn2322)12(2．…………………………………5分(Ⅱ)由题知nc)12(2nn．若使}{nc为单调递减数列，则nncc1)22(21nn-)12(2nn=0)1224(2nnn对一切n∈N*恒成立，…………………8分即：max)1224(01224nnnn，又1224nn=322232)1)(2(22nnnnnnnn，……………………10分当1n或2时，max)1224(nn=31．31．………………………………………………………………………12分BCDAE20．(Ⅰ)证明：由1)(axexfx，得aexfx)(．…………………………1分由)(xf0，即aex0，解得xlna，同理由)(xf0解得xlna，∴)(xf在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数，于是)(xf在axln取得最小值．又∵函数)(xf恰有一个零点，则0)(ln)(minafxf，…………………4分