北京市海淀区2016届高三数学下学期期末练习(二模)试题-理

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集=UR，{|1},{|2},MxxPxx则()UMPðA.{|12}xxB.{|1}xxC.{|2}xxD.{|12}xxx或2.在数列{}na中，12a，且1(1)nnnana，则3a的值为A.5B.6C.7D.83.若点(2,4)P在直线1,:3xtlyat（t为参数）上，则a的值为A.3B.2C.1D.14.在ABC中，34cos,cos,55AB则sin()ABA.725B.725C.925D.9255.在5()xa(其中0a)的展开式中，2x的系数与3x的系数相同，则a的值为A.2B.1C.1D.26.函数()ln1fxxx的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，在等腰梯形ABCD中，8,4,4ABBCCD.点P在线段AD上运动，则||PAPB的取值范围是A.[6,443]B.[42,8]C.[43,8]D.[6,12]8.直线1:10laxya与,xy轴的交点分别为,AB,直线l与圆22:1Oxy的交点为,CD.给出下面三个结论：①11,2AOBaS；②1,||||aABCD；③11,2CODaSDCABP则所有正确结论的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知21i,ia其中i为虚数单位，aR，则a__.10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中参加实践活动时间在6~10小时内的人数为___.11.如图，,,ABC是O上的三点，点D是劣弧¼BC的中点，过点B的切线交弦CD的延长线交BE于点E.若∠80BAC，则__.BED12.若点(,)Pab在不等式组20,20,1xyxyx所表示的平面区域内，则原点O到直线10axby距离的取值范围是__.13.已知点π3ππ(,),(,1),(,0)6242ABC，若这三个点中有且仅有两个点在函数()sinfxx的图象上，则正数．．的最小值为___.14.正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点PQR，，分别是棱11111AAABAD，，的中点，以PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高__h.0.040.05小时108642120.12ab频率组距RQPD1C1B1BCDA1AEODACB三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知函数()2sincos2fxxx.（Ⅰ）比较π()4f，π()6f的大小；（Ⅱ）求函数()fx的最大值.16.（本小题满分13分）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）1110154A5AB型数量（台）1012134B5BC型数量（台）158124C5C(Ⅰ)求A型空调前三周的平均周销售量；(Ⅱ)根据C型空调连续3周销售情况，预估C型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当C型空调周销售量的方差最小时，求4C，5C的值；(注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为1x，2x，…，nx的平均数)（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且2AEBFEF，2DECF.将AED和BFC分别沿DE、CF折起，使A、B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是,,MCMDEF的中点.（Ⅰ）求证：GH∥平面DEM；（Ⅱ）求证：EMCN；（Ⅲ）求直线GH与平面NFC所成的角的大小.18.（本小题满分14分）已知函数2()e()xfxxaxa.（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若关于x的不等式()eafx在[,)a上有解，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若曲线()yfx存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围.(只需直接写出结果)19.（本小题满分13分）已知点1122(,),(,)(AxyDxy其中12)xx是曲线24(0)yxy上的两点，,AD两点在x轴上的射影分别为点,BC,且||2BC.（Ⅰ）当点B的坐标为(1,0)时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记OAD的面积为1S，梯形ABCD的面积为2S，求证：1214SS.BFACDEHNGFMCDE20.（本小题满分13分）已知集合{|(,,,,...,),{0,1}niniXXxxxxx12，1,2}in，，,其中3n.(,,,,...,)innXxxxx12,称ix为X的第i个坐标分量.若nS，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②,,XYZS，存在{1,2,}mn，，使得,,XYZ的第m个坐标分量都是1；则称S为n的一个好子集.（Ⅰ）若{,,,}SXYZW为3的一个好子集，且(1,1,0),(1,0,1)XY，写出,ZW；（Ⅱ）若S为n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过12n；（Ⅲ）若S为n的一个好子集且S中恰好有12n个元素时，求证：一定存在唯一一个{1,2,...,}kn，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1.海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科）2016.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ABDBCACC二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）因为()2sincos2fxxx所以πππ()2sincos22444f…………………2分πππ3()2sincos26662f…………………4分因为322,所以ππ()()46ff…………………6分（Ⅱ）因为2()2sin(12sin)fxxx…………………9分22sin2sin1xx2132(sin)22x令sin,[1,1]txt，所以2132()22yt,…………………11分因为对称轴12t,根据二次函数性质知，当1t时，函数取得最大值3…………………13分9．110．5811.6012．1[,1]213．414．3216解:(I)A型空调前三周的平均销售量111015125x台…………………2分（Ⅱ）因为C型空调平均周销售量为10台，所以451051581215cc…………………4分又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5scc化简得到22411591[2()]522sc…………………5分因为4cN，所以当47c或48c时，2s取得最小值所以当4578cc或4587cc时，2s取得最小值…………………7分（Ⅲ）依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2，…………………8分20255(0)304012PX,1025201511(1)+=3040304024PX,10151(2)30408PX,…………………11分随机变量X的分布列为随机变量X的期望511117()0121224824EX.…………………13分X012p51211241817解:（Ⅰ）证明：连结NGNE，.在MCD中，因为,NG分别是所在边的中点，所以1CD2NG，…………………1分又1CD2EH,所以NGEH,…………………2分所以NEHG是平行四边形，所以ENGH,…………………3分又EN平面DEM，GH平面DEM,…………………4分所以GH平面DEM.…………………5分（Ⅱ）证明：方法一：在平面EFCD内，过点H作DE的平行线HP，因为,,DEEMDEEF,EMEFE所以DE平面EFM,所以HP平面EFM，所以HPEF.又在EMF中，因为EMMFEF，所以MHEF.以H为原点，,,HMHFHP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系…………………6分所以31(0,1,0),(3,0,0),(0,1,2),(,,1)22EMCN…………………7分所以33(3,1,0),(,,1)22EMCN，…………………8分所以0EMCN，所以EMCN.…………………9分方法二：取EM中点K，连接,NKFK.又NK为EMD的中位线，所以NKDE又DECF，所以NKCF，所以NKFC在一个平面中.…………………6分因为EMF是等边三角形，所以EMFK,又DEEM，所以NKEM,…………………7分且NKFKK，所以EM平面NKFC，…………………8分而CN平面NKFC,所以EMCN.…………………9分（Ⅲ）因为(0,0,2)CF,所以0EMCF,即EMCF,又CFCNC,所以EM平面NFC，所以EM就是平面NFC的法向量.…………………11分又31(,,1)22HG，设GH与平面NFC所成的角为，则有31222sin|cos,|222||||HGEMHGEMHGEM…………………13分所以GH与平面NFC所成的角为π4.…………………14分18解:（Ⅰ）函数()fx的定义域为R.当1a时，'()e(2)(1)xfxxx…………………2分当x变化时，'()fx，()fx的变化情况如下表：x(,2)2(2,1)1(1+)，'()fx00()fx极大值极小值…………………4分函数()fx的单调递增区间为(,2)，(1)，，函数()fx的单调递减区间为(2,1).…………………5分（Ⅱ）解：因为()eafx在区间[,)a上有解，所以()fx在区间[,)a上的最小值小于等于ea.因为'()e(2)()xfxxxa,令'()0fx,得122,xxa.…………………6分当2a时，即2a时，因为'()0fx对[,)xa成立，所以()fx在[,)a上单调递增，此时()fx在[,)a上的最小值为(),fa所以22()e()eaafaaaa，解得112a，所以此种情形不成立，…………………8分当2a，即2a时，若0a,则'()0fx对[,)xa成立，所以()fx在[,)a上单调递增，此时()fx在[,)a上的最小值为(),fa所以22()e()eaafaaaa，解得112a，所以102a.…………………9分若0a，若2a，则'()0fx对(,)xaa成立，'()0fx对[,)xa成立.则()fx在(,)aa上单调递减，在[,)a上单调递增，此时()fx在[,)a上的最小值为(),fa所以有22()e()eeaaafaaaaa，解得20a，………………10分当2a时，注意到[,)aa,而22()e()eeaaafaaaaa，此时结论成立.