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广东省潮州市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合A∪B=（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（0，1）D．（2，0）3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（0，1）∪（1，2）D．[0，1）∪（1，2]5．（5分）2015届高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．15B．16C．17D．186．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，则z的最大值为（）A．12B．6C．0D．﹣68．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．+πB．+2πC．2+πD．2+2π10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）圆x2﹣2x+y2=0的圆心C到抛物线y2=4x的准线l的距离为．12．（5分）设A（0，0），B（4，0），在线段AB上任投一点P，则|PA|＜1的概率为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．14．（5分）如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2011+a2012+a2013=．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．16．（13分）从一批草莓中，随机抽取n个，其重量（单位：克）的频率分布表如下：分组（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）频数（个）1050x15已知从n个草莓中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的草莓的概率为．（1）求出n，x的值；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的草莓中共抽取5个，再从这5个草莓中任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）若AB=CB=2，A1C=，求三棱锥C﹣ABC1的体积．18．（14分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn•log3（1﹣Sn+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=的正整数n的值．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x﹣2，求a的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．广东省潮州市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合A∪B=（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据并集的定义进行求解．解答：解：∵A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，∴A∪B={x|x≤2}，故选：C．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（0，1）D．（2，0）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，则复数z在复平面内对应的点的坐标可求．解答：解：∵z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，∴复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（2，0）．故选：D．点评：本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：求出向量+，验证各选项是否满足x1x2+y1y2=0，从而判定向量是否与+垂直．解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（0，2），∴+=（2，1），对于A，2×1+1×（﹣2）=0，∴该向量与向量+垂直；∴可以排除掉B、C、D选项．故选：A．点评：本题考查了平面向量的垂直问题，两向量垂直，有⊥⇔•=0⇔x1x2+y1y2=0，解题时应灵活地运用，是基础题．4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（0，1）∪（1，2）D．[0，1）∪（1，2]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由分子中根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合即可．解答：解：由，解①得：0≤x≤2．解②得：x≠1．∴0≤x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域是[0，1）∪（1，2]．故选：D．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5．（5分）2015届高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．15B．16C．17D．18考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义可知，样本对应的组距为56÷4=14，即可得到结论．解答：解：∵用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本对应的组距为56÷4=14，∴3+14=17，故样本中还有一个同学的座号是17，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的定义和应用，根据条件求出组距是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合函数的图象，由函数的最值求出A，由周期求出ω，再由求出φ的值．解答：解：由图可知A=2，，故ω=2，又，所以，故，又，所以．故选：B．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，则z的最大值为（）A．12B．6C．0D．﹣6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（6，6），代入目标函数z=x+y得z=6+6=12．即目标函数z=x+y的最大值为12．故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由只能得到角A是锐角，无法得到△ABC为锐角三角形；但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，可得．即可判断出．解答：解：由只能得到角A是锐角，无法得到△ABC为锐角三角形；但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，故．∴“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了向量的夹角与三角形的形状之间的关系，考查了推理能力，属于基础题．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．+πB．+2πC．2+πD．2+2π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，计算出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．解答：解：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，∵圆柱的底面直径为2，高为2，棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，于是该几何体的体积为．故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意可判断函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，从而作出函数f（x）与g（x）的图象，从而得到交点的个数即可．解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=f（x+2）；故函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，作出函数f（x）与g（x）的图象如下，由图象可知函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个．故选B．点评：本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的作法与应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）圆x2﹣2x+y2=0的圆心C到抛物线y2=4x的准线l的距离为2．考点：圆的一般方程；抛物线的标准方程．专题：直线与圆．分析：先求出抛物线的准线方程、圆的圆心坐标，即可求得圆心C到准线l的距离．解答：解：∵抛物线y2=4x的准线l的方程为x=﹣1，∴圆x2﹣2x+y2=0的圆心C（1，0）到抛物线y2=4x的准线l的距离为2，故答案为：2．点评：本题主要考查圆和抛物线的标准方程，求点到直线的距离公式，属于基础题．12．（5分）设A（0，0），B（4，0），在线段AB上任投一点P，则|PA|＜1的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：求得满足条件的