浙江省宁波市“十校”2016届高三数学联考试题-理

2016年宁波市高三“十校”联考数学（理科）说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式：VSh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：13VSh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.台体的体积公式：11221()3VhSSSS，其中1S、2S分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高.球的表面积公式：24SR,球的体积公式：343VR，其中R表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设aR,则“1a”是“11a”（▲）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.已知集合2{|120}Mxxx，{|3,1}xNyyx，则集合{|xxM且}xN为（▲）A.(0,3]B．[4,3]C．[4,0)D．[4,0]3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（▲）A．22B.10C.23D.134.已知抛物线24xy，过焦点F的直线l交抛物线于,AB两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为30，则||||AFBF等于（▲）A．3B．52C．2D．325．已知命题p：函数2()|2cos1|fxx的最小正周期为；命题q：若函数(2)fx为奇函数，则()fx关于(2,0)对称.则下列命题是真命题的是（▲）A．pqB．pqC．()()pqD．()pq6.设nS是公差为(0)dd的无穷等差数列{}na的前n项和，则下列命题错误．．的是（▲）A．若0d，则数列{}nS有最大项B．若数列{}nS有最大项，则0dC．若数列{}nS是递增数列，则对任意*Nn，均有0nSD．若对任意*Nn，均有0nS，则数列{}nS是递增数列7．已知O为三角形ABC内一点，且满足(1)0OAOBOC，若OAB△的面俯视图正视图侧视图22111积与OAC△的面积比值为13，则的值为（▲）A.32B.2C.13D.128.已知函数24()(0)1xfxxxxx,2()2(0),Rgxxbxxb.若()fx图象上存在,AB两个不同的点与()gx图象上,AB两点关于y轴对称，则b的取值范围为（▲）A．(425)，B．(425)，C．(4251)，D．(4251)，第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.已知圆22:22350Mxyxy，则圆心坐标为▲；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为▲.10.已知单调递减的等比数列na满足：23428aaa，且32a是24,aa的等差中项，则公比q▲，通项公式为na▲.11.已知函数21()3sincoscos,R2fxxxxx，则函数()fx的最小值为▲，函数()fx的递增区间为▲.12.已知实数,mn，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mxnynymxny表示的平面区域内，则2mn的取值范围为▲，22mn的取值范围为▲.13.已知,(0,)2xy，且有2sin6sinxy，tan3tanxy，则cosx▲.14.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别是12,FF，过2F的直线交双曲线的右支于,PQ两点，若112||||PFFF，且223||2||PFQF，则该双曲线的离心率为▲.15.如图，正四面体ABCD的棱CD在平面上，E为棱BC的中点.当正四面体ABCD绕CD旋转时，直线AE与平面所成最大角的正弦值为▲.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在ABC△中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且向量(54,4)macb与向量(cos,cos)nCB共线.（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若10,5bcac，，且2ADDC，求BD的长度.17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABCABC中，,DM分别为1CC和1AB的中点，11ADCC，侧面11ABBA为菱形且160oBAA，112AAAD，1BC．（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角1BACA的余弦值．ABCDE1C1ACAD18．（本题满分15分）对于函数()fx，若存在区间[,]()Amnmn，使得{|(),}yyfxxAA，则称函数()fx为“可等域函数”，区间A为函数()fx的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)fxxaxbab.（Ⅰ）若01ba，，()|()|gxfx是“可等域函数”，求函数()gx的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a为()fx的“可等域区间”，求a、b的值.19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右顶点12,AA，椭圆上不同于12,AA的点P,1AP,2AP两直线的斜率之积为49，12PAA△面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若椭圆E的所有弦都不能被直线:(1)lykx垂直平分，求k的取值范围．1BBMxOy1A2A20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列na的前n项和nS满足13nnSnra.（Ⅰ）若1=2a，求数列na的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N)nnbna，数列{}nb的前n项和为nT,求证：231nnTn.2016年宁波高三“十校”联考数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．B2.D3．C4.A5．B6.C7．A8．D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9.(1,3)，30xy10.12，611232()2nnna11.2，[,](Z)63kkk12.3[,4]2，[1,4]13.1214.7515.336三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在ABC△中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且向量(54,4)macb与向量(cos,cos)nCB共线.（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若10,5bcac，，且2ADDC，求BD的长度.解：（Ⅰ）(45,5)macb与(cos,cos)nCB共线，54cos5sin4sin4cos4sinacCACbBB4sincos4cossin5sincosBCBCAB4sin()4sin5sincosBCAAB在三角形ABC△中，sin0A4cos5B……………………………………………………7分（Ⅱ）10,5bcac，且4cos5B2222cosacacBb即242525105aa解得35aa或（舍）……………………………………………9分2ADDC1233BDBABC22222141214122c2cos99339933BDBABCBABCaacB将3a和5c代入得：21099BD109=3BD……………………………………………14分17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABCABC中，,DM分别为1CC和1AB的中点，11ADCC，侧面11ABBA为菱形且160oBAA，112AAAD，1BC．（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角1BACA的余弦值．解：∵11ADCC，且D为中点，112AAAD，∴1115ACACAC，又11,2BCABBA，∴1,CBBACBBA，又1BABAB，∴CB平面11ABBA，取1AA中点F，则1BFAA，即1,,BCBFBB两两互相垂直，以B为原点，1,,BBBFBC分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系如图，∴11113(2,0,0),(0,0,1),(1,3,0),(1,3,0),(2,0,1),(1,0,1),(,,0)22BCAACDM5分（Ⅰ）设平面ABC的法向量为(,,)xyzm，则30BAxym，0BCzm，取(3,1,0)m，∵13(,,1)22MD，330022MDm，1B1C1ACBADMC1A1B1FMDBACxyz∴MDm，又MD平面ABC，∴直线MD∥平面ABC．……9分（Ⅱ）设平面1ACA的法向量为111(,,)xyzn，1(1,3,1),(2,0,0)ACAA，11130ACxyzm，110AAxm，取(0,1,3)n，又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为(3,1,0)m，设二面角1BACA为，∵二面角1BACA为锐角，∴11cos||||||224mnmn，∴二面角1BACA的余弦值为14．…………15分18．（本题满分15分）对于函数()fx，若存在区间[,]()Amnmn，使得{|(),}yyfxxAA，则称函数()fx为“可等域函数”，区间A为函数()fx的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)fxxaxbab.（Ⅰ）若01ba，，()|()|gxfx是“可等域函数”，求函数()gx的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a为()fx的“可等域区间”，求a、b的值.解：（Ⅰ）01ba，，2()|2|gxxx是“可等域函数”22()|2|=|(1)1|0gxxxx，0nm结合图象，由()gxx得0,1,3x函数()gx的“可等域区间”为[0,1],[0,3]当12mn时，()1gx，不符合要求（此区间没说明，扣1分）……………………7分（Ⅱ）222()2()fxxaxbxaba因为区间[1,1]a为()fx的“可等域区间，所以11a即0a当01a时，则(1)1(1)1ffaa得12ab；…………………………10分当12a时，则()1(1)1fafaa无解；………………………………12分xOy当2a时，则()1(1)1fafa得3+529+352ab.…………………………15分19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右顶点12,AA，椭圆上不同于12,AA的点P,1AP,2AP两直线的斜率之积为49，12PAA△面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若椭圆E的所有弦都不能被直线:(1)lykx垂直平分，求k的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得12(,0),(,0)AaAa,(,)Pxy，1AP,2AP两直线的斜率之积为49122249APAPyybkkxaxaa12PAA△的面积最大值为1262ab所以32ab所以椭圆E的方程为：22194xy…………………………6分（Ⅱ）假设存在曲线E的弦CD能被直线:(1)lykx垂直平分当0k显然符合题…………8分当0k时，设(,),(,)CCDDCxyDxy，CD中点为00(,)Txy可设CD：1yxmk与曲线22194xyE：联立得：2229(4)189360mxxmkk，所以0得222490kmk……（1）式…………………………10分由韦达定理得：0218249CDkmxxxk，所以02949kmxk，代入1yx