江苏省泰州市2016届高三数学第一次模拟考试试题

泰州市2016届高三第一次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合21Axx≤，集合2,1,0,1,2B，则AB▲．2．如图，在复平面内，点A对应的复数为1z，若21izz（i为虚数单位），则2z▲．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2212xy的实轴长为▲．4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n▲．5．执行如图所示的伪代码，当输入,ab的值分别为1,3时，最后输出的a的值为▲．6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲．7．已知直线(0)ykxk与圆22:(2)1Cxy相交于,AB两点，若255AB，则k▲．8．若命题“存在20,4Rxaxxa≤”为假命题，则实数a的取值范围是▲．9．如图，长方体1111ABCDABCD中，O为1BD的中点，三棱锥OABD的体积为1V，四棱锥11OADDA的体积为2V，则12VV的值为▲．Read,1While21EndWhilePrintabiiaabbabiia（第5题）（第9题）OCDBC1AB1A1D1（第2题）10．已知公差为2的等差数列{}na及公比为2的等比数列{}nb满足11220,0abab，则33ab的取值范围是▲．11．设()fx是R上的奇函数，当0x时，()2ln4xxfx，记(5)nafn，则数列{}na的前8项和为▲．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点,AB分别为x轴，y轴上一点，且2AB，若点(2,5)P，则APBPOP的取值范围是▲．13．若正实数,xy满足2(21)(52)(2)xyyy，则12xy的最大值为▲．14．已知函数π()sin()coscos()262xxfxAx（其中A为常数，(π,0)），若实数123,,xxx满足：①123xxx，②31xx2π，③123()()()fxfxfx，则的值为▲．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在ABC中，角,AB的对边分别为,ab，向量(cos,sin),(cos,sin)ABBAmn．（1）若coscosaAbB，求证：//mn；（2）若mn,ab，求tan2AB的值．FOCBADE16．（本题满分14分）如图，在三棱锥PABC中，90PACBAC，PAPB，点D，F分别为BC，AB的中点．（1）求证：直线//DF平面PAC；（2）求证：PFAD．17．（本题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，1AB米，如图所示．小球从A点出发以v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F．设AOE弧度，小球从A到F所需时间为T．（1）试将T表示为的函数()T，并写出定义域；（2）求时间T最短时cos的值．18．（本题满分16分）已知数列{},{}nnab满足2(2)nnnSab，其中nS是数列{}na的前n项和．（1）若数列{}na是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}nb的通项公式；（2）若nbn，23a，求数列{}na的通项公式；（3）在（2）的条件下，设nnnacb，求证：数列{}nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．DFCPAB19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆:O224xy，椭圆:C2214xy，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于,BC两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中6(,0)5D．设直线,ABAC的斜率分别为12,kk．（1）求12kk的值；（2）记直线,PQBC的斜率分别为,PQBCkk，是否存在常数，使得PQBCkk？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．20．（本题满分16分）已知函数4212fxaxx，(0,)x，gxfxfx．（1）若0a，求证：（ⅰ）fx在()fx的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）gx在(0,)上恰有两个零点；（2）若1a，记gx的两个零点为12,xx，求证：1244xxa．xyDQPCAOB泰州市2016届高三第一次模拟考试数学试题（附加题）21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分.A．（几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O是ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与以C为切点的切线交于点P,求证:PCBDPAAC.B．（矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252Mx的一个特征值为2,求2M.C．（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系xoy中,已知直线11:()72xtCtyt为参数与椭圆2cos:(0)3sinxaCay为参数,的一条准线的交点位于y轴上,求实数a的值.D．（不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,abc满足231abc，求证：24627111abc≥.BPDOAC22．【必做题】（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）设ABAD，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为91050，求的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角D—CB1—B的余弦值．23.【必做题】（本题满分10分）已知,N*km，若存在互不相等的正整数12,,aa…,ma，使得1223,,aaaa…11,,mmmaaaa同时小于k，则记()fk为满足条件的m的最大值．（１）求(6)f的值；（２）对于给定的正整数n(1)n，（ⅰ）当(2)(1)(2)nnknn时，求()fk的解析式；（ⅱ）当(1)(2)nnknn时，求()fk的解析式．高三数学参考答案一、填空题1．1,0,1；2．2i；3．22；4．200；5．5；6．45；7．12；8．(2,)；9．12；10．(,2)；11．16；12．[7,11]；13．3212；14．23.二、解答题15.证明：（1）因为coscosaAbB，DCBB1C1A1AGFOCBDAE所以sincossincosAABB，所以//mn.……………7分（2）因为mn，所以coscossinsin0ABAB，即cos()0AB，因为ab，所以AB，又,(0,)AB，所以(0,)AB，则2AB，…12分所以tantan124AB.……………14分16.证明（1）∵点D，F分别为BC，AB的中点，∴//DFAC，又∵DF平面PAC，AC平面PAC，∴直线//DF平面PAC．……………6分（２）∵90PACBAC，∴ACAB，ACAP，又∵ABAPA，,ABAP在平面PAB内，∴AC平面PAB，……………8分∵PF平面PAB，∴ACPF，∵PAPB，F为AB的中点，∴PFAB，∵ACPF，PFAB，ACABA，,ACAB在平面ABC内，∴PF平面ABC，……………12分∵AD平面ABC，∴ADPF．……………14分17.解：（1）过O作OGBC于G，则1OG，1sinsinOGOF，11sinEF，AE，所以11()5656sin6AEEFTvvvvv，[,]44π3π．……7分（写错定义域扣1分）（2）11()56sin6Tvvv，22221cos6sin5cos(2cos3)(3cos2)()56sin30sin30sinTvvvv，…………9分记02cos3，0[,]44π3π，0(,)4003(,)4()T-0+()TDFCPAB故当2cos3时，时间T最短．…………14分18.解：（1）因为1211()2()333nnna，21[(1()]1133[(1()]1231()3nnnS，…………2分所以11()2131222()23nnnnnSba．…………4分（2）若nbn，则22nnSnan，∴112(1)2nnSna，两式相减得112(1)2nnnanana，即1(1)2nnnana，当2n时，1(1)(2)2nnnana，两式相减得11(1)(1)2(1)nnnnanana，即112nnnaaa，…………8分又由1122Sa，22224Sa得12a，23a，所以数列{}na是首项为2，公差为321的等差数列，故数列{}na的通项公式是1nan．…………10分（3）由（2）得1nncn，对于给定的*nN，若存在*,,,ktnktN，使得nktccc，只需111nktnkt，即1111(1)(1)nkt，即1111nktkt，则(1)nktkn，…………12分取1kn，则(2)tnn，∴对数列{}nc中的任意一项1nncn，都存在121nncn和2222212nnnncnn使得212nnnnccc．…………16分19．解：（1）设00(,)Bxy，则00(,)Cxy，220014xy所以22000012220000111422424xyyykkxxxx．…………4分（2）联立122(2)4ykxxy得2222111(1)44(1)0kxkxk，解得211122112(1)4,(2)11PPPkkxykxkk，联立122(2)14ykxxy得2222111(14)164(41)0kxkxk，解得211122112(41)4,(2)1414BBBkkxykxkk，…………8分所以121241BBCBykkxk，121122112141562(1)641515PPQPkykkkkkxk，所以52PQBCkk，故存在常数52，使得52PQBCkk．…………10分（3）当直线PQ与x轴垂直时，68(,)55Q，则28156225AQkk，所以直线AC必过点Q．当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：12156()415kyxk，联立1212256()4154kyxkxy，解得21122112(161)16,161161QQkkxykk，所以1212211211616112(161)42161AQkkkkkkk，故直线AC必过点Q．…………16分（不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1分）20.证：（1）因为42102fxaxxx，所以3()4fxaxx，由32(4)1210axxax得()fx的递减区间为1(0,)23a，…………2分当1(0,)23xa时，32()4(41)0fxaxxxax，所以fx在()fx的递减区间上也递减．…………4分（2）解1：42343211(4)4