搜索
北京市2015届高三上学期期中考试模拟卷2014.11数学（文）（满分150分，考试时长120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则等于（）A．B．C．D．2.cos380sin980-cos520sin1880的值为（）A．B．C．D．3.已知为等比数列，Sn是它的前n项和.若，且a4与a7的等差中项为，则等于（）A．35B．33C．31D．294.已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(-),则λ=（）A．-4B．-3C．-2D．-15.下列说法正确的是（）A．“x=6”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件B．命题“若x2=1，则x=l”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．命题“，使得x2+x+10的否定是“R，均有x2+x+10”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题6.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（）A．2B．2C．3D．47.设函数，其中，则导数的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知函数则函数（其中）的零点个数不可能为（）A．6B．5C．4D．3二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知等差数列中，，则的值为_________.10.已知，则的值为________．11.设满足约束条件，则的最大值是______.12.函数y=sinx与y=cosx在内的交点为P，在点P处两函数的切线与x轴所围成的三角形的面积为_________13.如图，正六边形的边长为，则______14.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的“高调函数”．现给出下列命题：①函数为上的“1高调函数”；②函数为上的“高调函数”；③如果定义域为的函数为上“高调函数”，那么实数的取值范围是；其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）化简的表达式，并求的最小正周期；（Ⅱ）当，求函数的值域．16.（本小题满分13分）已知数列为等差数列，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：.17.（本小题满分13分）设（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围．18.（本小题满分13分）在中，角A，B，C的对边分别为，且满足（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若的面积的最大值.19.（本小题满分14分）已知函数()lnfxxax，1(),(R).agxax（Ⅰ）若1a，求函数()fx的极值；（Ⅱ）设函数()()()hxfxgx，求函数()hx的单调区间；(Ⅲ)若在[1,e]（e=2.718...）上存在一点0x，使得00()()fxgx成立，求a的取值范围20.（本小题满分14分）数列的前项和为，和满足等式（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ）若数列满足，求数列的前项和；（Ⅳ）设，求证：答案部分1.考点:集合的运算，对数与对数函数试题解析:，则.答案:D2.考点:诱导公式，两角和与差的三角函数试题解析:.答案:A3.考点:等比数列试题解析:由，得，所以.即.又因为a4与a7的等差中项为，所以，解得.故公比.所以.故.答案:C4.考点:平面向量坐标运算试题解析:∵m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),∴(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,λ=-3.答案:B5.考点:充分条件与必要条件，命题及其关系，全称量词与存在量词试题解析:A中，当x=6时，x2－5x－6=0，当x2－5x－6=0时，，所以x=6是x2－5x－6=0的充分不必要条件，所以A不正确；B中，否命题是若x2≠1，则x≠1，所以B不正确；很明显C正确；D中，逆命题是：若sinx=siny，则x=y，是假命题，所以D不正确.答案:C6.考点:零点与方程，对数函数试题解析:，，所以，所以，所以.答案:B7.考点:导数的计算，恒等变换综合，三角函数综合试题解析:，则=，当时，，所以，所以，即.答案:A8.考点:零点与方程，函数图像，函数综合试题解析:当时，，函数的大致图象如图所示，当时，，当时，.则由图知，当时，函数有2个零点，则函数有4个零点；当，函数有3个零点，则函数有5个零点；当，函数有3个零点，则函数有6个零点；当，函数有2个零点，则函数有4个零点；综上所得，函数的零点可能有4，5，6个，不可能有3个.答案:D9.考点:对数与对数函数，等差数列试题解析:因为，所以，.答案:210.考点:诱导公式，同角三角函数的基本关系式试题解析:，因为，所以原式=。答案:11.考点:线性规划试题解析:画出可行域如图所示的阴影部分.是直线在轴上的截距，由图知，当直线经过点时，取最小值，即取最大值.答案:012.考点:三角函数的图像与性质，导数的概念和几何意义试题解析:容易得知点P的坐标为，（1）y=sinx的导数为,于是切线的斜率k=切线的方程为，与x轴的交点坐标为（）；（2）y=cosx的导数为，于是切线的斜率，切线的方程为，与x轴的交点坐标为（）。所以在点P处两函数的切线与x轴所围成的三角形的面积为答案:13.考点:数量积的定义，数量积在几何中的应用试题解析:答案:.14.考点:推理与证明，指数函数，三角函数，二次函数，函数综合试题解析:①中，，即在R上恒成立，所以函数为上的“1高调函数”，所以①正确；②中，，所以恒成立，所以函数为上的“高调函数”，所以②正确；③中，当对时，则，即成立，所以.当时，则恒成立，由于不存在最大值，所以不恒成立，即此时不合题意；当时，则恒成立，又的最小值是-1，所以，即此时.综上所得，实数的取值范围是，所以③正确.所以正确的命题序号是①②③．答案:①②③15.考点:三角函数综合，三角函数的性质及应用，恒等变换综合答案:（Ⅰ），（4分）∴的最小正周期（6分）（Ⅱ）∵，∴，（8分）∴，（12分）∴值函数的域为（13分）16.考点:等差数列的定义及通项，等比数列求和，，对数函数，数列综合应用试题解析:（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由得（2分）所以d=1，（3分）所以（5分）即．（6分）（Ⅱ）证明：（8分）所以（10分）（13分）答案:（答案详见解析）17.考点:利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值问题试题解析:（1），（2分）令令（5分）所以在单调递减，在上单调递增（6分）（2），（8分）由，又，所以，，（10分）由所以，（12分）得（13分）答案:（答案详见解析）18.考点:正弦定理，恒等变换综合，余弦定理，均值定理的应用，解三角形试题解析:（Ⅰ）由正弦定理得，∴（2分）又，∴，（5分）又（6分）（Ⅱ）（7分）由余弦定理得，∴.（9分）（当且仅当时取“=”号）∴，（11分）的面积即当a=b=c=2时，△ABC的面积的最大值为（13分）答案:见解析19.考点：导数的概念和几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数求最值和极值，导数的综合运用，函数综合解：（Ⅰ）()fx的定义域为(0,)，（1分）当1a时，()lnfxxx，11()1xfxxx，（2分）（3分）所以()fx在1x处取得极小值1.（4分）（Ⅱ）1()lnahxxaxx，22221(1)(1)[(1)]()1aaxaxaxxahxxxxx（6分）①当10a时，即1a时，在(0,1)a上()0hx，在(1,)a上()0hx，所以()hx在(0,1)a上单调递减，在(1,)a上单调递增；②当10a，即1a时，在(0,)上()0hx，所以，函数()hx在(0,)上单调递增.（9分）（III）在1,e上存在一点0x，使得0()fx0()gx成立，即在1,e上存在一点0x，使得0()0hx，即函数1()lnahxxaxx在1,e上的最小值小于零.（10分）由（Ⅱ）可知①即1ea，即e1a时，()hx在1,e上单调递减，x(0,1)1(1,)()fx—0+()fx极小所以()hx的最小值为(e)h，由1(e)e0eaha可得2e1e1a，因为2e1e1e1，所以2e1e1a；（11分）②当11a，即0a时，()hx在1,e上单调递增，所以()hx最小值为(1)h，由(1)110ha可得2a；（12分）③当11ea，即0e1a时，可得()hx最小值为(1)ha，因为0ln(1)1a，所以，0ln(1)aaa故(1)2ln(1)2haaaa此时，(1)0ha不成立.（13分）综上讨论可得所求a的范围是：2e1e1a或2a.（14分）20.考点:倒序相加，错位相减，裂项抵消求和，等差数列，等比数列，数列综合应用答案:（I）∵∴.（2分）（II）∵，∴，（3分）∴，（4分）∴数列是等差数列（5分）.（III）由（II）可知,，∴，（6分）当时，；当时，，经检验，当时也成立，∴，（7分）∴，∴∴∴，∴.（10分）（Ⅳ）由（III）知，∴（12分）（14分）