北京市丰台区2015届高三3月统一练习(一模)数学(文)试题

丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一）2015.3高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={x∈N∣1≤x≤3}，则UAð=(A)U(B){1，2，3}(C){4，5，6}(D){1，3，4，5，6}2.下列函数中，在区间(0,)上存在最小值的是(A)2(1)yx(B)yx(C)2xy(D)2logyx3.已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，且bα，那么“a⊥b”是“a⊥α”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是(A)7(B)10(C)11(D)165．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)48(B)32(C)16(D)3236．将函数cosyx的图象向右平移6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是(A)1cos()26yx(B)1cos()23yx(C)cos(2)6yx(D)cos(2)3yx7．已知奇函数(),0,(),0.fxxygxx如果()xfxa(0a且1)a对应的图象如图所示，那么()gx(A)1()2x(B)1()2x(C)2x(D)2x8．在正方体1111ABCDABCD中，P为底面ABCD上一动点，如果P到点1A的距离等于P到直线1CC的距离，那么点P的轨迹所在的曲线是(A)直线(B)圆(C)抛物线(D)椭圆第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数312ii=．10．双曲线22126xy的渐近线方程为．11．若变量x，y满足约束条件20,20,40,xxyxy则2zxy的最大值是．12．在平面直角坐标系xOy中，点(10)A，，(03)B，，(cossin)Cxx，，则AB=；若AB∥OC，则tanx=______．13．某中学共有女生2000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重（单位：kg）数据加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为；试估计该校体重在[55,70)的女生有人．14．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作(,)dPA．如果集合22={(,)|4}Axyxy，点P的坐标为(22,22)，那么(,)dPA；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集{|(,)1}DPdPA所表示的图形的面积为．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知52b，4B，552cosC．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求ABC的面积．16.（本小题共13分）已知等差数列{}na和等比数列{}nb中，111ab，22ab，432ab．（Ⅰ）求数列{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）如果mnab*(N)n，写出m，n的关系式()mfn，并求(1)(2)()fffn．17.（本小题共13分）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型ABC已行驶总里程不超过5万公里的车辆数104030已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．（ⅰ）求n的值；（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．ABCC1A1B1M18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111CBAABC中，侧棱1AA底面ABC，M为棱AC中点.ABBC，2AC，12AA．（Ⅰ）求证：1BC//平面1ABM；（Ⅱ）求证：1AC平面1ABM；（Ⅲ）在棱1BB的上是否存在点N，使得平面1ACN⊥平面CCAA11？如果存在，求此时1BNBB的值；如果不存在，说明理由．19.（本小题共14分）已知椭圆C：2236xy的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：ykxm(0)k过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P，判断直线PQ是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．20.（本小题共13分）已知函数1()ln()fxaxaRx.（Ⅰ）当2a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）如果函数()()2gxfxx在(0,)上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当0a时，讨论函数()yfx零点的个数．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）数学（文科）参考答案选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CABCBADA一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．1-i10．3yx11．612．(1,3)；313．0.024；100014．2；8注：第12，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．二、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在ABC中，C0，且552cosC，所以55sinC．因为BbCcsinsin，且52b，4B，所以22225552sinsinBCbc．所以22c．……………………6分（Ⅱ）因为Baccabcos2222，所以01242aa，所以6a或2a（舍）．所以6sin21BacSABC．……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q，则21132dqdq．解得23dq或10dq（舍）．所以21nan，13nnb．……………………6分（Ⅱ）因为mnab，所以1213nm，即11(31)2nm．0111(1)(2)()(313131)2nfffn0111(333)2nn113()213nn3214nn．……………………13分所以(1)(2)()fffn3214nn．17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为73140202020．……………………3分（Ⅱ）（ⅰ）依题意3020145140n．……………………6分（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：AM，AN，BM，BN，CM，CN．设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，则53106)(DP．答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为53．…………………13分18.（本小题共14分）解：（Ⅰ）连结1AB交1AB于O，连结OM．在1BAC中，因为M，O分别为AC，1AB中点，所以OM//1BC．又因为OM平面1ABM，1BC平面1ABM，所以1BC//平面1ABM．……………………4分（Ⅱ）因为侧棱1AA底面ABC，BM平面ABC，所以1AABM．又因为M为棱AC中点，ABBC，所以BMAC．因为1AAACA，所以BM平面11ACCA．所以1BMAC．因为M为棱AC中点，2AC，所以1AM．又因为12AA，所以在1RtACC和1RtAAM中，11tantan2ACCAMA．所以11ACCAMA，即111190ACCCACAMACAC．所以11AMAC．因为1BMAMM，所以1AC平面1ABM．……………………10分（Ⅲ）当点N为1BB中点时，即112BNBB，平面1ACN平面11AACC．设1AC中点为D，连结DM，DN．因为D，M分别为1AC，AC中点，所以DM//1CC，且112DMCC．又因为N为1BB中点，OMB1A1C1CBAMB1A1C1CBADN所以DM//BN，且DMBN．所以BM//DN，因为BM平面11ACCA，所以DN平面11ACCA．又因为DN平面1ACN，所以平面1ACN平面11ACCA．……………………14分19.（本小题共14分）解:（Ⅰ）因为椭圆C：22162xy所以焦点(2,0)F，离心率6.3e……………………4分（Ⅱ）直线l：ykxm(0)k过点F，所以2mk，所以l：(2)ykx．由2236(2)xyykx，得2222(31)121260.kxkxk（依题意0）．设11(,)Pxy，22(,)Qxy，则21221231kxxk，2122126.31kxxk．因为点P关于x轴的对称点为P，则11(,)Pxy．所以，直线PQ的方程可以设为211121()yyyyxxxx，令0y，2111211211212xyxyxyxyxxyyyy211212(2)(2)(4)kxxkxxkxx12121222()(4)xxxxxx2222221261222313112(4)31kkkkkk3．所以直线PQ过x轴上定点(3,0)．……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a时，1()2lnfxxx，(1)1f，所以221()fxxx，(1)1f．所以切线方程为yx．……………………3分（Ⅱ）因为()()2gxfxx在(0,)上单调递减，等价于21()20agxxx在(0,)恒成立，变形得12axx(0)x恒成立，而1122222xxxx（当且仅当12xx，即22x时，等号成立）．所以22a．……………………8分（Ⅲ）21()axfxx．令()0fx，得1xa．x1(0,)a1a1(,)a()fx0()fx↘极小值↗所以min1()=()fxfa=1ln(1ln)aaaaa．（ⅰ）当0ae时，min()0fx，所以()fx在定义域内无零点；（ⅱ）当ae时，min()0fx，所以()fx在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当ae时，min()0fx，①因为(1)10f，所以()fx在增区间1(,)a内有唯一零点；②21()(2ln)faaaa，设()2lnhaaa，则2()1haa，因为ae，所以()0ha，即()ha在(,)e上单调递增，所以()()0hahe，即21()0fa，所以()fx在减区间1(0,)a内有唯一的零点．所以ae时()fx在定义域内有两个零点．综上所述：当0ae时，()fx在定义域内无零点；当ae时，()fx在定义域内有唯一的零点；当ae时，()fx在定义域内有两个零点．……………………13分（若用其他方法解题