搜索
第4课时分式考点一分式的概念考点聚焦0𝐴𝐵分式的概念定义形如(A,B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式有意义的条件分母不为①值为0的条件分子为0,但②不为0分母考点二分式的基本性质及相关概念分式的基本性质分式的约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式,叫做分式的约分注意:约分的最终目标是将分式化为最简分式,即分式的分子和分母没有公因式M𝐴𝐵=𝐴×(③)𝐵×𝑀,𝐴𝐵=𝐴÷(④)𝐵÷𝑀(其中A,B,M是整式,B≠0,M≠0)M分式的通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分式,叫做分式的通分注意:通分的关键是确定几个分式的公分母最简分式分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简公分母几个分式中各分母系数(都是整数)的最小公倍数与各分母的所有因式的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母(续表)考点三分式的运算分式的加减同分母分式相加减𝑎𝑐±𝑏𝑐=⑤异分母分式相加减𝑎𝑏±𝑐𝑑=⑥±⑦=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑分式的乘除乘法法则𝑎𝑏·𝑐𝑑=⑧除法法则𝑎𝑏÷𝑐𝑑=𝑎𝑏·⑨=𝑎𝑑𝑏𝑐(b≠0,c≠0,d≠0)分式的乘方𝑎𝑏𝑛=⑩(n为整数)𝒂±𝒃𝒄𝒂𝒅𝒃𝒅𝒃𝒄𝒃𝒅𝒂𝒄𝒃𝒅𝒅𝒄𝒂𝒏𝒃𝒏题组一必会题对点演练1.[八下P100习题第1(1)题改编]要使分式2𝑥+16𝑥-5有意义,则x的取值范围是()A.x56B.x56C.x≠56D.x≠-12C2.[八下P99例题改编]若分式𝑥-22𝑥-3的值为0,则()A.x=32B.x=0C.x=2D.x=32或2C3.[2018·莱芜]若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是()A.2+𝑥𝑥-𝑦B.2𝑦𝑥2C.2𝑦33𝑥2D.2𝑦2(𝑥-𝑦)2D4.[八下P108习题第1(2)题改编]化简:𝑎2(𝑎-𝑏)2−𝑏2(𝑏-𝑎)2=.5.[八下P111练习第(2)题改编]计算:𝑥-2𝑥2÷1-2𝑥=.𝒂+𝒃𝒂-𝒃𝟏𝒙【失分点】忽视分式的分母不等于0的隐含条件;分式运算出现运算顺序的错误或者结果忽视约分;分式的化简求值时要密切关注任何一处的分母均不为零.题组二易错题6.[2019·聊城]如果分式|𝑥|-1𝑥+1的值为0,那么x的值为()A.-1B.1C.-1或1D.1或0[答案]B[解析]要想使分式的值为零,应使分子为零,即|x|-1=0,分母不为零,即x+1≠0,∴x=1,故选B.7.[2019·山西]化简2𝑥𝑥-1−𝑥1-𝑥的结果是.𝟑𝒙𝒙-𝟏8.[2019·烟台]先化简x+3-7𝑥-3÷2𝑥2-8𝑥𝑥-3,再从0≤x≤4中选一个合适的整数代入求值.解:x+3-7𝑥-3÷2𝑥2-8𝑥𝑥-3=(𝑥+3)(𝑥-3)𝑥-3-7𝑥-3×𝑥-32𝑥2-8𝑥=(𝑥+4)(𝑥-4)𝑥-3×𝑥-32𝑥(𝑥-4)=𝑥+42𝑥.因为𝑥-3≠0,2𝑥2-8𝑥≠0,2𝑥≠0,所以x不能取0,3,4,考虑到从0≤x≤4中选一个整数,故x只能取1或2.①当x=1时,原式=1+42×1=52;②当x=2时,原式=2+42×2=32.(注意:①与②只写一种即可)考向一分式的有关概念例1求当x取何值时,分式𝑥-22𝑥+4.(1)有意义;(2)无意义;(3)值为零.解:(1)2x+4≠0,即x≠-2时分式有意义;(2)2x+4=0,即x=-2时分式无意义;(3)𝑥-2=0,2𝑥+4≠0,解得x=2,即x=2时分式值为0.【方法点析】(1)分式有意义的条件:分母不为零.(2)分式的值为零的条件:分式的分子为零,分母不为零.|考向精练|1.下列分式中,不论x取何值,一定有意义的是()A.𝑥-1𝑥+1B.𝑥-1𝑥C.𝑥+1𝑥2-1D.𝑥-1𝑥2+1[答案]D[解析]选项A,当x=-1时,分式没有意义;选项B,当x=0时,分式没有意义;选项C,当x=±1时,分式没有意义;选项D,分母x2+1恒不为零.故选D.2.当x时,𝑥(𝑥+3)𝑥2-9的值为0.=0考向二分式的基本性质的运用例2如果把分式𝑥𝑥+𝑦中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分式的值()A.扩大为原来的3倍B.不变C.缩小为原来的13D.缩小为原来的16[答案]B[解析]看分式的值是否发生变化,关键是看分式的分子、分母的值是如何变化的.由题意,可设x'=3x,y'=3y,则𝑥'𝑥'+𝑦'=3𝑥3𝑥+3𝑦=3𝑥3(𝑥+𝑦)=𝑥𝑥+𝑦.【方法点析】(1)在应用分式的基本性质进行变形时,要注意“都”“同一个”“不等于0”这些字眼的意义,否则容易出现错误;(2)在进行通分和约分时,如果分式的分子或分母是多项式,先要将这些多项式进行因式分解;(3)分式的加减运算过程中,注意与解分式方程区别开来,不能“去分母”.|考向精练|1.[2019·扬州]分式13-𝑥可变形为()A.13+𝑥B.-13+𝑥C.1𝑥-3D.-1𝑥-3D2.化简𝑥2-𝑦2(𝑦-𝑥)2的结果是.[答案]𝑥+𝑦𝑥-𝑦[解析]𝑥2-𝑦2(𝑦-𝑥)2=(𝑥-𝑦)(𝑥+𝑦)(𝑥-𝑦)2=𝑥+𝑦𝑥-𝑦.考向三分式的化简与求值例3[2019·徐州19(2)题]计算:𝑥2-16𝑥+4÷2𝑥-84𝑥.解:𝑥2-16𝑥+4÷2𝑥-84𝑥=(𝑥+4)(𝑥-4)𝑥+4×4𝑥2(𝑥-4)=2x.【方法点析】分式化简求值的一般方法(1)先化简,在分式的混合运算中,应先算乘方,再算乘除,进行约分,最后进行加减运算.遇到有括号的,先算括号里面的.(2)后求值:①如果字母的值已知,代入化简后的代数式计算;②如果分式中字母表示的数未明确告知,而是隐藏在方程、不等式等题设条件中,解答时,一方面从中求出未知数或未知代数式的值,另一方面把所求代数式化简,有时需要整体代入求值;③自己选取一个值代入求值时,这类题选取字母的值必须要保证原式有意义.|考向精练|1.[2018·徐州19(2)题]计算:𝑎2-𝑏2𝑎-𝑏÷𝑎+𝑏2𝑎-2𝑏.2.[2017·徐州19(2)题]计算:1+4𝑥-2÷𝑥+2𝑥2-4𝑥+4.解:原式=(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)𝑎-𝑏·2𝑎-2𝑏𝑎+𝑏=2a-2b.解:原式=𝑥-2𝑥-2+4𝑥-2×(𝑥-2)2𝑥+2=𝑥+2𝑥-2×(𝑥-2)2𝑥+2=x-2.3.[2016·徐州19(2)题]计算:𝑥2-1𝑥+1÷𝑥2-2𝑥+1𝑥2-𝑥.解:原式=(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥+1×𝑥(𝑥-1)(𝑥-1)2=x.4.[2015·徐州19(2)题]计算:1+1𝑎÷𝑎2-1𝑎.5.[2014·徐州19(2)题]计算:a+1𝑎-2÷1+1𝑎-2.解:原式=𝑎+1𝑎×𝑎(𝑎+1)(𝑎-1)=1𝑎-1.解:原式=𝑎(𝑎-2)+1𝑎-2÷𝑎-2+1𝑎-2=(𝑎-1)2𝑎-2·𝑎-2𝑎-1=a-1.6.[2019·苏州]先化简,再求值:𝑥-3𝑥2+6𝑥+9÷1-6𝑥+3,其中x=2-3.解:原式=𝑥-3(𝑥+3)2÷𝑥-3𝑥+3=𝑥-3(𝑥+3)2×𝑥+3𝑥-3=1𝑥+3.当x=2-3时,原式=12-3+3=12=22.