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第3课时整式及因式分解考点一整式的相关概念考点聚焦名称识别次数系数与项整式单项式(1)数与字母或字母与字母相乘组成的代数式;(2)单独一个数或一个字母所有字母的指数的和系数:单项式中的数字因数多项式几个单项式的和或差次数最高的项的次数项:多项式中的每个单项式考点二同类项、合并同类项的概念或法则名称概念或法则同类项所含字母①,并且相同字母的指数也②的项叫做同类项.几个常数项也是同类项合并同类项根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项合并同类项的法则同类项的系数③,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变相同相同相加考点三整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是合并同类项.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=④(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑤(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑥(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑦(a≠0,m,n都是整数)am+nanbnamnam-n(续表)类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、相同字母的幂分别⑧,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加,如m(a+b+c)=⑨多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,如(m+n)(a+b)=⑩ma+mb+mc相乘ma+mb+na+nb(续表)类别法则乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=⑪完全平方公式(a±b)2=⑫常用恒等变换(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab(2)(a-b)2=(a+b)2-4aba2±2ab+b2a2-b2考点四因式分解1.因式分解的概念及法则名称概念或法则因式分解把一个多项式写成几个整式的⑬的形式,叫做多项式的因式分解公因式一个多项式各项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法ma+mb+mc=⑭公式法a2-b2=⑮a2+2ab+b2=⑯a2-2ab+b2=⑰m(a+b+c)积(a+b)(a-b)(a+b)2(a-b)22.因式分解的一般步骤图3-1题组一必会题对点演练C1.[2018·南京鼓楼区一模]关于代数式x+2的值,下列说法一定正确的是()A.比2大B.比2小C.比x大D.比x小2.[七下P76练一练第2题改编]下列运算正确的是()A.2a+3b=5abB.5a-2a=3aC.a2·a3=a6D.(a+b)2=a2+b2B3.[七下P55练一练第2题改编]下列各式中,计算正确的是()A.a8÷a4=a2B.t10÷t9=tC.m5÷m=m5D.(-z)6÷(-z)2=-z44.[七下P86例7(1)改编]多项式18a2-50分解因式的结果是.B2(3a+5)(3a-5)5.[七下P90复习题第9题改编]已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,那么:(1)ab=;(2)a2+b2=.[答案](1)1(2)5[解析](1)由(a+b)2=7,(a-b)2=3,得a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=3②.①-②,得4ab=4,所以ab=1.(2)把ab=1代入①,得a2+2×1+b2=7,所以a2+b2=5.【失分点】对同类项等概念理解不清;把同底数幂的乘法和整式的加减混淆;平方差公式与完全平方公式混淆;因式分解时分解不彻底.题组二易错题6.下列结论正确的是()A.xyz的系数为0B.3x2-x+1中一次项系数为-1C.a2b3c的次数为5D.a2-33是一个三次二项式B8.[2019·威海]下列运算正确的是()A.(a2)3=a5B.3a2+a=3a3C.a5÷a2=a3(a≠0)D.a(a+1)=a2+1AC7.下列选项中的两项不是同类项的是()A.a3与b3B.-2与3C.13a3b与ba3D.-13a2b2与0.2a2b29.[2019·潍坊]下列因式分解正确的是()A.3ax2-6ax=3(ax2-2ax)B.-x2+y2=(-x+y)(-x-y)C.a2+2ab+4b2=(a+2b)2D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2[答案]D[解析]选项A:3ax2-6ax=3ax(x-2);选项B:-x2+y2=(-x+y)(x+y);选项C不能分解因式;选项D正确;故选D.考向一幂的运算例1计算:(-a)2·a3·(-2b)3+(-2ab)2·(-a)3·b.解:原式=a2·a3·(-2b)3+4a2b2·(-a)3·b=-8a5b3-4a5b3=-12a5b3.【方法点析】按幂的运算性质进行运算时,要谨慎对待符号与系数的计算.C|考向精练|1.[2019·徐州2题]下列计算正确的是()A.a2+a2=a4B.(a+b)2=a2+b2C.(a3)3=a9D.a3·a2=a62.[2018·徐州2题]下列计算正确的是()A.2a2-a2=1B.(ab)2=ab2C.a2+a3=a5D.(a2)3=a6D3.[2017·徐州4题]下列运算正确的是()A.a-(b+c)=a-b+cB.2a2·3a3=6a5C.a5+a3=2a8D.(x+1)2=x2+14.[2016·徐州2题]下列运算中,正确的是()A.x3+x3=x6B.x3·x6=x27C.(x2)3=x5D.x÷x2=x-15.[2013·徐州2题]下列各式,运算结果为x6的是()A.x9÷x3B.(x3)3C.x2·x3D.x3+x3BDA6.(1)计算:an+2·a2·a-an·a3·a2=.(2)若x3n=4,y2n=3,则x6ny4n=.(3)若2x=2,2y=3,2z=5,则2x+y+z的值为.[答案](1)0(2)144(3)30[解析](1)原式=an+2+2+1-an+3+2=an+5-an+5=0.(2)x6ny4n=(x3n)2·(y2n)2=42×32=16×9=144.(3)2x+y+z=2x×2y×2z=2×3×5=30.7.已知4×16n=49,计算:(y2)n·(yn)3.解:∵42=16,∴4×16n=4×(42)n=4×42n=42n+1.∴42n+1=49,∴2n+1=9,解得n=4.∴(y2)n·(yn)3=(y2)4·(y4)3=y8·y12=y20.考向二整式的运算例2[2018·长沙]先化简,再求值:(a+b)2+b(a-b)-4ab,其中a=2,b=-12.解:原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab.当a=2,b=-12时,原式=4+1=5.|考向精练|1.[2018·河北]将9.52变形正确的是()A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52[答案]C[解析]9.5可以写成10-0.5,∴9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52.故选C.2.[2018·淮安]计算:ab(3a-2b)+2ab2.解:原式=3a2b-2ab2+2ab2=3a2b.考向三因式分解例3(1)[2019·宿迁]分解因式:a2-2a=.(2)[2019·淮安]分解因式:1-x2=.(3)[2019·扬州]分解因式:a3b-9ab=.a(a-2)(1-x)(1+x)ab(a+3)(a-3)|考向精练|1.[2019·泸州]把2a2-8分解因式,结果正确的是()A.2(a2-4)B.2(a-2)2C.2(a+2)(a-2)D.2(a+2)2[答案]C[解析]原式=2(a2-4)=2(a+2)(a-2),故选C.2.[2019·苏州]因式分解:x2-xy=.x(x-y)3.[2019·南京]因式分解(a-b)2+4ab的结果是.[答案](a+b)2[解析](a-b)2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2.4.分解因式:4+12(x-y)+9(x-y)2=.(3x-3y+2)2考向四代数式求值例4[2019·徐州12题]若a=b+2,则代数式a2-2ab+b2的值为.4|考向精练|1.[2018·徐州13题]若2m+n=4,则代数式6-2m-n的值为.2.[2017·徐州14题]已知a+b=10,a-b=8,则a2-b2=.3.[2014·徐州12题]若ab=2,a-b=-1,则代数式a2b-ab2的值为.4.[2013·徐州10题]当m+n=3时,式子m2+2mn+n2的值为.280-29考向五整式的创新应用例5[2019·徐州树人一模]当n等于1,2,3…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形如图3-2所示,则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用含n的代数式表示,n是正整数)图3-2n2+4n|考向精练|1.[2018·徐州17题]如图3-3,每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成,照此规律,第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个(用含n的代数式表示).(4n+3)图3-32.[2016·徐州17题]如图3-4,每个图形都是由大小相同的正方形组成的,按照此规律,第n个图形中这样的正方形的总个数可以用含n的代数式表示为.[答案]n(n+1)[解析]第1个图形,正方形个数为2;第2个图形,正方形个数为2+4;第3个图形,正方形个数为2+4+6;…第n个图形,正方形个数为2+4+6+8+…+2n=n(n+1).图3-4