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第2课时数的开方与二次根式考点一数的开方考点聚焦1.平方根、算术平方根:实数a(a≥0)的平方根为±𝑎,其中𝑎为a的算术平方根.正数的平方根有两个,互为①,算术平方根只有一个且为②,0的平方根是0.2.立方根:实数a的立方根为𝑎3(a为任意实数),立方根只有一个,符号与被开方数③,立方根等于本身的数为±1,0.相反数正数相同考点二二次根式的相关概念和性质1.二次根式:形如𝑎(a≥0)的式子叫做二次根式.02.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④.3.最简二次根式必须同时满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如:5,𝑥2+1是最简二次根式,而8,12,2𝑎2都不是最简二次根式.5.二次根式的性质(1)(𝑎)2=⑤(a≥0).(2)𝑎2=|a|=⑥(𝑎≥0),⑦(𝑎0).(3)𝑎·𝑏=𝑎·𝑏(a⑧0,b⑨0).(4)𝑎𝑏=𝑎𝑏(a⑩0,b⑪0).aa-a≥≥≥4.同类二次根式:经过化简后,被开方数相同的二次根式.考点三二次根式的运算≥≥≥2.乘除运算:𝑎·𝑏=𝑎𝑏(a⑫0,b⑬0);𝑎𝑏=𝑎𝑏(a⑭0,b⑮0).4.把分母中的根号化去的方法(1)1𝑎=𝑎𝑎·𝑎=𝑎𝑎;(2)1𝑎-𝑏=𝑎+𝑏(𝑎-𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑏𝑎-𝑏.1.加减运算:先将二次根式化为最简二次根式,再将同类二次根式进行合并.3.混合运算:与实数的运算顺序相同.运算结果必须为最简二次根式.考点四二次根式的估算1.先把二次根式化为a±𝑏(a为整数,b0)的形式(以1+5为例);2.找出与𝑏平方后所得数相邻的两个完全平方数,如4和9,并开方,如4=2,9=3;3.确定根式的值在开方后所得的两个相邻整数之间,如253;4.(1)若求a±𝑏的值在哪两个整数之间,则同时给不等号两边加上整数部分a,如35+14;(2)若确定离哪个整数较近,则再求这两个整数的平均数,如2+32=2.5,最后用平方法比较根式和平均数的大小.若根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近;若根式的平方小于平均数的平方,则离较小的整数近,如2.52=6.255,则5离2较近,1+5离3较近.考点五非负数1.概念:正数和零叫做非负数.常见的非负数有|a|,a2,𝑎(a≥0).2.性质若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.如:若a2+|b|+𝑐=0,则a2=0,|b|=0,𝑐=0,可得a=b=c=0.题组一必会题对点演练1.[八下P148例1(1)改编]若代数式𝑥-5在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥-5B.x-5C.x≥5D.x≤5C2.[八上P96例2(3)改编]7的算术平方根是()A.7B.49C.±49D.±7AD3.[2018·泰州]下列运算正确的是()A.2+3=5B.18=23C.2·3=5D.2÷12=24.[八上P100习题第2题改编]计算:--183=.𝟏𝟐𝟒𝟑𝟑35.[2018·天津]计算(6+3)(6−3)的结果等于.6.[八下P169复习巩固第9题改编]已知𝑎-3+2-𝑏=0,则1𝑎+6𝑏的值为.题组二易错题7.[2018·无锡]下列等式正确的是()A.(3)2=3B.(-3)2=-3C.33=3D.(-3)2=-3【失分点】求二次根式有意义的条件容易忽视分式、零指数幂与负整数次幂的条件;没有注意(𝑎)2,𝑎2的区别;二次根式的最后结果没有化为最简二次根式.[答案]A[解析]∵(3)2=3,∴A正确;∵(-3)2=9=3,∴B错误;∵33=32×3=32×3=33,∴C错误;∵(-3)2=(3)2=3,∴D错误.8.[八下P155练习第2(2)题]计算:23×12=.9.[2018·白银]使得代数式1𝑥-3有意义的x的取值范围是.x32𝟐10.[2018·凉山州]当-1a0时,𝑎+1𝑎2-4−𝑎-1𝑎2+4=.[答案]2a[解析]当-1a0时,𝑎+1𝑎2-4−𝑎-1𝑎2+4=𝑎-1𝑎2−𝑎+1𝑎2=𝑎-1𝑎−𝑎+1𝑎=𝑎-1𝑎−-𝑎-1𝑎=2a.考向一求平方根、算术平方根与立方根例1(1)[2019·宿迁]实数4的算术平方根是.(2)[2019·连云港]64的立方根是.242|考向精练|1.[2019·徐州9题]8的立方根是.B2.[2018·安顺]4的算术平方根为()A.±2B.2C.±2D.23.[2019·南京]面积为4的正方形的边长是()A.4的平方根B.4的算术平方根C.4开平方的结果D.4的立方根B考向二二次根式的有关概念例2若代数式1𝑥-1+𝑥有意义,则实数x的取值范围是()A.x≠1B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠1D1.[2015·徐州4题]使𝑥-1有意义的x的取值范围是()A.x≠1B.x≥1C.x1D.x≥0B|考向精练|2.[2019·徐州10题]使式子𝑥+1有意义的x的取值范围是.3.[2018·徐州12题]若𝑥-2在实数范围内有意义,则x的取值范围是.4.[2018·扬州一模]函数y=1𝑥-1中自变量x的取值范围是.x≥-1x≥2x1例3下列二次根式中,不是最简二次根式的是()A.10B.8C.6D.2B[2017·贵港]下列二次根式中,最简二次根式是()A.-2B.12C.15D.𝑎2A|考向精练|例4下列根式中,与3是同类二次根式的是()A.24B.12C.32D.18B下列各式中,哪些是同类二次根式?0.5,213,12,75,-1725,2𝑎2𝑥3(a≥0,x≥0),50𝑥𝑦2(x≥0,y≥0).|考向精练|解:∵0.5=122,213=233,12=23,75=53,-1725=-3225=-452,2𝑎2𝑥3=ax2𝑥(a≥0,x≥0),50𝑥𝑦2=25×2𝑥×𝑦2=5y2𝑥(x≥0,y≥0).∴0.5,-1725是同类二次根式,213,12,75是同类二次根式,2𝑎2𝑥3,50𝑥𝑦2是同类二次根式.考向三二次根式的化简与计算例5(1)[2019·扬州]计算:(5-2)2018(5+2)2019=.(2)[2019·南京]计算147−28的结果是.[答案](1)5+2(2)0[解析](1)原式=[(5-2)(5+2)]2018·(5+2)=(5-4)2018·(5+2)=5+2,故答案为5+2.(2)原式=27-27=0.1.[2014·徐州4题]下列运算中错误的是()A.2+3=5B.2×3=6C.8÷2=2D.(-3)2=3A|考向精练|2.[2019·常州]下列各数中,与2+3的积是有理数的是()A.2+3B.2C.3D.2-3[答案]D[解析]因为(2+3)(2-3)=1,故选D.考向四二次根式的大小比较例6(1)估计7+1的值()A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间[答案]C[解析]∵273,∴37+14,∴7+1的值在3和4之间.故选C.[答案]A[解析]∵a,b,c均大于0,a2=12,b2=13,c2=15,∴abc.(2)已知a=22,b=33,c=55,则下列大小关系正确的是()A.abcB.cbaC.bacD.acb【方法点析】比较两个二次根式大小的方法有很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外的数移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内;(2)根号外的正数要平方后才能从根号外移到根号内.[2019·南京]下列整数中,与10-13最接近的是()A.4B.5C.6D.7|考向精练|[答案]C[解析]∵91316,3.52=12.25,∴3.5134,∴与13最接近的整数是4,∴与10-13最接近的整数是6,故选C.考向五二次根式的性质例7若在数轴上表示实数a的点如图2-1所示,则化简(𝑎-5)2+𝑎-2的结果为.[答案]3[解析]观察数轴知2a5,∴a-50,a-20,∴(𝑎-5)2+𝑎-2=𝑎-5+𝑎-2=5-a+a-2=5-2=3.图2-1【方法点析】𝑎2中的a可以是任意实数,而(𝑎)2中的a必须是非负数.1.若(m-1)2+𝑛+2=0,则m+n的值是()A.-1B.0C.1D.2|考向精练|[答案]A[解析]由(m-1)2+𝑛+2=0得(m-1)2=0,𝑛+2=0,∴m=1,n=-2,∴m+n=1+(-2)=-1,故选A.2.[2017·南京]计算:(-3)2=.3[答案]-3[解析]由二次根式有意义的条件得𝑥-12≥0,12-𝑥≥0,解得x=12,代入y=𝑥-12+12-𝑥-6得y=-6,∴xy=12×(-6)=-3.3.[2017·鄂州]若y=𝑥-12+12-𝑥-6,则xy=.解:要使25𝑥+2有意义,必须使25x+2≥0,解得x≥-225,即当x=-225时,25𝑥+2有最小值,最小值为0,从而25𝑥+2+3有最小值,最小值为3.∴当x=-225时,25𝑥+2+3的值最小,最小值为3.4.当x取什么值时,25𝑥+2+3的值最小?并求出这个最小值.