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第16课时几何初步及平行线、相交线考点一直线、射线、线段考点聚焦1.①确定一条直线.2.两点之间,②最短.3.两点之间线段的③叫做这两点间的距离.4.比较线段的长短:通过度量或叠合可以比较两条线段的长短.5.线段的和、差:如图16-1,AD=AB+BC+CD,AB=AD-DB=AC-BC.两点图16-1线段长度6.线段的中点:把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点.线段中点的几何表示:如图16-2,M是线段AB的中点,则有:(1)AM=MB;(3)AB=2AM或AB=2MB.7.两条直线的位置关系在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:④.图16-2相交和平行(2)AM=12AB或BM=12AB;考点二角角的概念定义1有公共端点的两条⑤组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的⑥,这两条射线叫做角的⑦定义2一条射线绕着它的⑧从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角角的分类角按照大小可以分为周角、平角、钝角、直角、⑨角的大小比较(1)叠合法;(2)度量法射线顶点两条边端点锐角(续表)量角器的使用量角器的中心和角的顶点对齐,量角器的零刻度线和角的一条边对齐,做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数度、分、秒的换算1周角=360°,1平角=180°,1°=⑩',1'=⑪″两角间的关系互余定义:如果α+β=⑫,那么α,β互为余角性质:同角(或等角)的余角⑬互补定义:如果α+β=⑭,那么α,β互为补角性质:同角(或等角)的补角⑮90°6060180°相等相等(续表)角平分线定义一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线定理逆定理角平分线上的点到角两边的距离⑯,即∠1=∠2𝑃𝐸⊥𝑂𝐴,𝑃𝐹⊥𝑂𝐵⇒PE⑰PF到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,即𝑃𝐸⊥𝑂𝐴,𝑃𝐹⊥𝑂𝐵𝑃𝐸=𝑃𝐹⇒∠1=∠2=相等考点三相交线1.三线八角对顶角性质:对顶角相等.举例:∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与⑱邻补角性质:互为邻补角的两个角之和等于180°.举例:∠1与∠2、∠4;∠2与∠1、∠3;∠8与∠5、∠7;∠7与∠6、∠8同旁内角举例:∠2与∠5,∠3与⑲同位角举例:∠1与⑳,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7内错角举例:∠2与㉑,∠3与∠5∠8∠8∠5∠82.垂线(1)垂线的性质a.过一点有且只有㉒条直线垂直于已知直线;b.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,㉓最短.(2)点到直线的距离直线外一点到这条直线的㉔的长度叫做点到直线的距离.如图16-3,点P与直线l上各点连接的所有线段中,PB最短,点P到直线l的距离是PB的长度.图16-3一垂线段垂线段考点四平行线平行线的定义在同一平面内,㉕的两条直线叫做平行线基本事实经过直线外一点,有且只有㉖直线与这条直线平行推论若a∥c,b∥c,则㉗不相交一条a∥b1.平行线的定义、判定与性质(续表)平行线的判定同位角㉘,两直线平行内错角㉙,两直线平行同旁内角㉚,两直线平行平行线的性质两直线平行,同位角㉛两直线平行,内错角㉜两直线平行,同旁内角㉝相等互补相等相等相等互补2.平行线间的距离(1)定义:同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线间的距离.(2)性质:两平行线间的距离处处相等,夹在两平行线间的㉞相等.平行线段题组一必会题对点演练1.[七上P151习题第7题改编]如图16-4,B是线段AD上一点,C是线段BD的中点.若AD=10,BC=3,则线段AB的长等于()A.2B.3C.4D.6图16-4C2.[七下P16习题第2题改编]如图16-5,直线a,b被直线c所截,a∥b.若∠2=45°,则∠1等于()A.130°B.135°C.140°D.145°B图16-53.[2019·广州]如图16-6,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直线l的距离是cm.5图16-64.[七上P163习题第1题改编]已知∠α=34°30',则它的补角的度数是°.5.[七上P156练一练第2题改编]如图16-7,OC是∠AOE内的一条射线,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,∠AOC=40°,∠COE=20°,则∠BOD=°.145.5图16-730题组二易错题【失分点】平行线的性质与判定模糊;不能正确识别“三线八角”;点到直线的距离混淆;有关三角板、量角器类角度计算题,不能抽象为数学问题.6.[2018·深圳]如图16-8,直线a,b被c,d所截,且a∥b,则下列结论中正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠2+∠4=180°D.∠1+∠4=180°B图16-87.[2018·丽水]如图16-9,∠B的同位角可以是()A.∠1B.∠2C.∠3D.∠4D图16-98.下列图形中,线段AD的长表示点A到直线BC距离的是()D图16-109.[2019·威海]把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图16-11放置(直角顶点在直尺的一条长边上).若∠1=23°,则∠2=°.68图16-11考向一线与角的概念和基本性质例1如图16-12,建筑工人砌墙时,经常在两个墙角的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参照线,其运用到的数学原理是()A.两点之间,线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行图16-12[答案]B[解析]根据题意,建筑工人的目的是确定直的参照线,即直线,故选B.|考向精练|1.如图16-13,在直线l上有A,B,C三点,则图中线段共有()A.1条B.2条C.3条D.4条图16-13C图16-14C2.如图16-14,AM为∠BAC的平分线,下列等式错误的是()A.12∠BAC=∠BAMB.∠BAM=∠CAMC.∠BAM=2∠CAMD.2∠CAM=∠BAC考向二相交直线与垂直例2[2018·益阳]如图16-15,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD=180°图16-15[答案]C[解析]根据对顶角相等可知∠AOD=∠BOC,选项A正确;∵∠AOD和∠BOD恰好组成一个平角,∴∠AOD+∠BOD=180°,选项D正确;∵EO⊥CD,∴∠EOD=90°,∴∠AOE+∠BOD=180°-90°=90°.选项B正确.故选C.【方法点析】(1)在解较为复杂的几何计算题时,可运用列方程的方法来解题;(2)求角时可将较复杂的几何图形分解为若干个基本图形,然后利用邻补角、对顶角等关系求解.|考向精练|1.下列各图中,∠1与∠2互为邻补角的是()图16-16D2.如图16-17,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有()A.2条B.3条C.4条D.5条16-17D3.[2019·邵阳]如图16-18,已知直线l1与l2被第三条直线l3所截,下列等式一定成立的是()A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠2+∠4=180°D.∠1+∠4=180°图16-18D考向三有关角度的计算例3填空:(1)78.36°=°‘″;(2)56°45'36″=°.[答案](1)782136(2)56.76[解析](1)先把小数度化为分,再把小数分化为秒.78.36°=78°+(0.36×60)'=78°+21.6‘=78°+21'+(0.6×60)″=78°21'36″;(2)把分与秒化为度时,先化秒为分,再把所得的分与题中分相加,然后化分为度.56°45'36″=56°+45'+(36÷60)'=56°+45.6‘=56°+(45.6÷60)°=56.76°.例4(1)下列各图中,∠1与∠2互为余角的是()(2)已知∠A=100°,那么∠A的补角为°.图16-19B80|考向精练|1.[2019·常州]如果∠α=35°,那么∠α的余角等于°.2.[2018·黔三州]若∠α=35°,则∠α的补角为°.55145考向四平行线的性质和判定的应用例5如图16-20,给出下列三个论断:①∠B+∠D=180°;②AB∥CD;③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件,填入“已知”栏中,以一个论断作为结论,填入“结论”栏中,使之成为一道由已知可得到结论的题目,并说明理由.已知:如图16-20,(填序号),结论:(填序号).图16-20解:答案不唯一,如①,②→③.理由:∵AB∥CD(已知),∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).又∵∠B+∠D=180°(已知),∴∠C+∠D=180°(等量代换).∴BC∥DE(同旁内角互补,两直线平行).|考向精练|1.[2019·南京]结合图16-21,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵,∴a∥b.∠1+∠3=180°图16-212.[2019·镇江]如图16-22,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1=°.图16-22403.[2018·徐州一模]如图16-23,▱ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点,增加下列条件,不能得出BE∥DF的是()A.AE=CFB.BE=DFC.∠EBF=∠FDED.∠BED=∠BFD图16-23[答案]B[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.A.∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形BFDE是平行四边形,∴BE∥DF,故本选项能判定BE∥DF;B.∵BE=DF,∴四边形BFDE是平行四边形或等腰梯形,∴故本选项不能判定BE∥DF;C.∵AD∥BC,∴∠BED+∠EBF=180°,∠EDF+∠BFD=180°.∵∠EBF=∠FDE,∴∠BED=∠BFD,∴四边形BFDE是平行四边形,∴BE∥DF,故本选项能判定BE∥DF;D.∵AD∥BC,∴∠BED+∠EBF=180°,∠EDF+∠BFD=180°.∵∠BED=∠BFD,∴∠EBF=∠FDE,∴四边形BFDE是平行四边形,∴BE∥DF,故本选项能判定BE∥DF.故选B.