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第15课时二次函数的综合应用考点一利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想考点聚焦分类讨论思想可用来检测思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考查.有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解.考点二综合多个知识点,运用等价转换思想许多数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换.而作为中考压轴题,更注重不同知识之间的联系与转换.一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用.对点演练1.如图15-1,等腰直角三角形ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG的边长均为2,且AC与DE在同一直线上,开始时点C与点D重合,让△ABC沿这条直线向右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是()图15-1图15-2[答案]A[解析]由题意知当C从点D运动到点E,即0≤x≤2时,y=12×(2-x+2)x=-12x2+2x.当A从点D运动到点E,即2x≤4时,y=12×[2-(x-2)]×[2-(x-2)]=12x2-4x+8,∴y与x之间的函数关系式为y=-12𝑥2+2𝑥(0≤𝑥≤2),12𝑥2-4𝑥+8(2𝑥≤4).由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.故选A.2.如图15-3,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与直线y=2交于B,C两点,△ABC为正三角形.若点A坐标为(-3,0),则此抛物线与y轴的交点坐标为()A.0,92B.0,272C.(0,9)D.(0,19)图15-3[答案]B[解析]作AD⊥BC于点D,则AD=2.∵△ABC为正三角形,∴BD=CD=𝐴𝐷3=233,∴C-3+233,2.设抛物线解析式为y=a(x+3)2,将点C坐标代入,得a-3+233+32=2,∴a=32,∴y=32(x+3)2,当x=0时,y=272.故选B.考向一解决图形运动问题,运用分类讨论思想例1[2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5cm,动点P从点B出发,沿折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它们运动的速度相同.设点P出发xs时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与x之间的函数关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请根据图中的信息,解答下列问题:图15-4(1)当1x2时,△BPQ的面积(填“变”或“不变”);(2)分别求出线段OM,曲线NK所对应的函数表达式;(3)当x为何值时,△BPQ的面积是5cm2?图15-4不变例1[2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5cm,动点P从点B出发,沿折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它们运动的速度相同.设点P出发xs时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与x之间的函数关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请根据图中的信息,解答下列问题:(2)分别求出线段OM,曲线NK所对应的函数表达式;图15-4解:(2)设OM所在直线的函数表达式为y=kx,把M(1,10)代入,得k=10.∴线段OM的函数表达式为y=10x(0≤x≤1).在曲线NK上取一点G,使它的横坐标为52,由题意可得其纵坐标为52,∴曲线NK过点N(2,10),G52,52,K(3,0).设曲线NK的表达式为y=ax2+bx+c,将N,G,K三点坐标分别代入y=ax2+bx+c,由此得a=10,b=-60,c=90.∴曲线NK的函数表达式为y=10x2-60x+90(2≤x≤3).例1[2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5cm,动点P从点B出发,沿折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它们运动的速度相同.设点P出发xs时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与x之间的函数关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请根据图中的信息,解答下列问题:(3)当x为何值时,△BPQ的面积是5cm2?图15-4解:(3)把y=5代入y=10x,解得x=12;把y=5代入y=10x2-60x+90,解得x1=3-22,x2=3+22(舍去).∴当x=3-22或x=12时,△BPQ的面积是5cm2.|考向精练|1.[2014·徐州18题]如图15-5①,在正方形ABCD中,点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动;同时,点Q沿边AB,BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动.当点P移动到点A时,P,Q同时停止移动.设点P出发xs时,△PAQ的面积为ycm2,y与x的函数图象如图②,则线段EF所在的直线对应的函数关系式为.图15-5[答案]y=-3x+18[解析]∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,点Q沿边AB,BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动,∴当点P到AD的中点时,Q到点B,此时,△PAQ的面积最大.设正方形的边长为acm,∵从图②可以看出当点Q到点B时的面积为9,∴12·12a·a=9,解得a=6,即正方形的边长为6.当点Q在BC上时,AP=6-x,△APQ的高为AB,∴y=12·(6-x)·6=-3x+18.∴线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=-3x+18.2.如图15-6,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.已知P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动,设运动时间为t(s),阴影部分的面积为S(cm2).(1)写出S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.(2)当t为何值时,S最小?最小值是多少?图15-6解:(1)由题意知AP=t,BQ=2t,则BP=6-t,所以S=12×6-12·(6-t)·2t=t2-6t+72(0≤t≤6).2.如图15-6,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.已知P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动,设运动时间为t(s),阴影部分的面积为S(cm2).(2)当t为何值时,S最小?最小值是多少?图15-6解:(2)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,∴当t=3s时,S取得最小值,最小值为63cm2.考向二综合多个知识点,运用转化思想例2[2019·贺州]如图15-7,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点.(1)求A,C两点的坐标;(2)求抛物线的表达式;(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.图15-7解:(1)由题意知OA=OC=4OB=4,故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4).例2[2019·贺州]如图15-7,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点.(2)求抛物线的表达式;图15-7解:(2)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),把(0,-4)代入,得-4a=-4,解得a=1,故抛物线的表达式为y=x2-3x-4.例2[2019·贺州]如图15-7,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点.(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.图15-7解:(3)∵直线CA过点C(0,-4),∴设其函数表达式为:y=kx-4,将点A坐标代入上式,解得k=1,故直线CA的表达式为y=x-4.过点P作y轴的平行线交AC于点H,∵OA=OC=4,OA⊥OC,∴∠OAC=∠OCA=45°.∵PH∥y轴,∴∠PHD=∠OCA=45°.设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=HPsin∠PHD=22(x-4-x2+3x+4)=-22x2+22x,∵-220,∴当x=2时,PD有最大值,其最大值为22,此时点P(2,-6).|考向精练|1.[2019·永州]如图15-8,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB面积的最大值,并求出此时点P的坐标.图15-8解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得9𝑎-3𝑏+𝑐=0,𝑐=3,-𝑏2𝑎=-1,解得𝑎=-1,𝑏=-2,𝑐=3.所以抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.1.[2019·永州]如图15-8,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB面积的最大值,并求出此时点P的坐标.图15-8解:(2)易知直线AB的表达式为y=x+3,设P(m,-m2-2m+3)(-3m0),过点P作PC∥y轴交AB于点C,则C(m,m+3),PC=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m,S△PAB=12×(-m2-3m)×3=-32×(m2+3m)=-32m+322+278.所以当m=-32时,S△PAB有最大值278,此时点P的坐标为-32,154.2.如图15-9,在平面直角坐标系中,二次函数y=-14x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0).(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标.(2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接CD,CF,以CD,CF为邻边作▱CDEF,设▱CDEF的面积为S.①求S的最大值;②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数图象上时,请直接写出此时S的值.图15-9解:(1)因为二次函数y=-14x2+bx+c的图象过A(0,8),B(-4,0)两点,所以有-14×(-4)2-4𝑏+𝑐=0,𝑐=8,解得𝑏=1,𝑐=8.所以二次函数的解析式为y=-14x2+x+8.当y=0时,解得x1=-4,x2=8,所以点C的坐标为(8,0).2.如图15-9,在平面直角坐标系中,二次函数y=-14x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0).(2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接CD,CF,以CD,CF为邻边作▱CDEF,设▱CDEF的面积为S.①求S的最大值;②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数图象上时,请直接写出此时S的值.图15-9解:(2)①连接OF,DF,如图,设Fm,-14m2+m+8.∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF,∴S△CDF=S△ODF+S△OCF-S△OCD=12×4×m+12×8×-14𝑚2+𝑚+8−12×8×4=2m-m2+4m+32-16=-m2+6m+16=-(m-3)2+25,当m=3时,△CDF的面积有最大值,最大值为25,∵四边形CDEF为平行四边形,∴S的最大值为50.②∵四边形CDEF为平行四边形,∴CD∥EF,CD=EF.∵点C向左平移8个单位,再向上平移4个单位得到点D,∴点F向左平移8个单位,再向上平移4个单位得到点E,即Em-8,-14m2+m+12.∵点Em-8,-14m2+m+12在