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第14课时二次函数的应用考点一二次函数的最值应用的一般方法考点聚焦(1)依据实际问题中的数量关系列出二次函数关系式,应用配方法得到顶点式;(2)依据实际问题,找出自变量的取值范围;(3)在自变量的取值范围内,根据二次函数的最值或增减性确定最大值或最小值.考点二建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的解析式,通过解析式解决一些测量问题或其他问题.题组一必会题对点演练1.[九下P32习题第3题改编]用一条长为16m的篱笆围成面积为am2的长方形的生物园饲养小兔,a的值不可能为()A.8B.10C.16D.20D2.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价元,最大利润为元.[答案]5625[解析]设应降价x元,销售量为(20+x)个.根据题意得利润y=(100-x)(20+x)-70(20+x)=-x2+10x+600=-(x-5)2+625,故为了获得最大利润,则应降价5元,最大利润为625元.3.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-0.2x2+3.5的一部分(如图14-1).若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是m.[答案]4[解析]把y=3.05代入y=-0.2x2+3.5中,得x1=1.5,x2=-1.5(舍去),∴l=1.5+2.5=4(m).故答案为4.图14-1题组二易错题【失分点】求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.4.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克.小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该蔬菜的单价定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.[答案]4.548[解析]设单价为x元,则每千克获利(x-4.1)元.∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20×𝑥-4.10.1=-200x+1020,设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50.∵a=-20,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大,∵物价局规定该蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).考向一二次函数在营销问题方面的应用例1[2018·安徽]小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?解:(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,W2=19(50-x)=-19x+950.例1[2018·安徽]小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?解:(2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950(0x≤50,且x为整数),∵-20,-412×(-2)=414,∴当0x414时,W随x的增大而增大;当414x≤50时,W随x的增大而减小.又∵x取整数,故当x=10时,W最大.最大总利润=-2×102+41×10+8950=9160(元).|考向精练|1.[2014·徐州26题]某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图14-2所示.(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?图14-2解:(1)∵y=ax2+bx-75的图象过点(5,0),(7,16),∴25𝑎+5𝑏-75=0,49𝑎+7𝑏-75=16,解得𝑎=-1,𝑏=20.∴y与x之间的函数关系式为y=-x2+20x-75.∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,∴当x=10时,y最大=25.答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.1.[2014·徐州26题]某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图14-2所示.(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?图14-2解:(2)∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10,∴(7,16)关于对称轴对称的点是(13,16).又∵函数y=-x2+20x-75的图象开口向下,∴当7≤x≤13时,y≥16.答:当销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元.2.[2016·徐州26题]某宾馆拥有客房100间,经营中发现:每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系,部分对应值如下表:(1)求y与x之间的函数表达式.(2)已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用100元;每间空置的客房,宾馆每日需支出60元.当房价为多少元时,宾馆当日利润最大?求出最大利润.(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)x(元)180260280300y(间)100605040解:(1)设y=kx+b.将(180,100),(260,60)代入y=kx+b,得100=180𝑘+𝑏,60=260𝑘+𝑏,解得𝑘=-12,𝑏=190,∴y与x之间的函数表达式为y=-12x+190.2.[2016·徐州26题]某宾馆拥有客房100间,经营中发现:每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系,部分对应值如下表:(2)已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用100元;每间空置的客房,宾馆每日需支出60元.当房价为多少元时,宾馆当日利润最大?求出最大利润.(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)x(元)180260280300y(间)100605040解:(2)设宾馆当日利润为W元.W=xy-100y-60(100-y)=x-12x+190-100-12x+190-60100--12x+190=-12x2+190x+50x-19000-30x+5400=-12x2+210x-13600=-12(x-210)2+8450.答:当房价为210元时,宾馆当日利润最大,最大利润为8450元.3.[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(1)请写出y与x之间的函数表达式.(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?解:(1)根据题意得y=-12x+50(0x≤20).3.[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?解:(2)根据题意得(40+x)-12x+50=2250,解得:x1=50(舍去),x2=10.答:当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元.3.[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?解:(3)根据题意得w=(40+x)-12x+50=-12x2+30x+2000=-12(x-30)2+2450.∵a=-120,∴当x30时,w随x的增大而增大,∴当x=20时,w最大=2400.答:当x为20时w最大,最大值是2400元.4.[2017·扬州]农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式.(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500解:(1)假设p与x成一次函数,设p=kx+b,由表格知当x=30时,p=600;当x=50时,p=0,∴30𝑘+𝑏=600,50𝑘+𝑏=0,解得𝑘=-30,𝑏=1500,∴p=-30x+1500,把x=35,p=450;x=40,p=300;x=45,p=150代入,均符合;假设p与x成二次函数、反比例函数时,仿照上述方法均不符合,∴p与x之间的关系式是p=-30x+1500.4.[2017·扬州]农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500解:(2)设每日的销售利润为y元,由题意得y=(x-30)p=(x-30)(-30x+1500)=-30(x-40)2+3000,∴当销售价格定为40元/千克时,才能使每日销售利润最大.4.[2017·扬州]农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500解:(3)设日获利为W元,则W=y-ap=-30𝑥-402+3000-a(-30x+1500)=-30x2+2400+30𝑎x-1500a-45000=-30x-80+𝑎22+15𝑎-2022.∵当40≤x≤45时,日获利最大值为2430元