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第13课时二次函数的图象与性质考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中x是自变量,y是x的函数.考点二二次函数的图象及画法图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以为顶点,以直线x=①为对称轴的抛物线用描点法画抛物线y=ax2+bx+c的步骤(1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎-𝒃𝟐𝒂考点三二次函数的性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象a0a0开口方向抛物线开口向②,并向上无限延伸抛物线开口向③,并向下无限延伸下上(续表)图象a0a0增减性在对称轴的左侧,即当④时,y随x的增大而⑤;在对称轴的右侧,即当⑥时,y随x的增大而⑦,简记左减右增增大减小在对称轴的左侧,即当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而⑧;在对称轴的右侧,即当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而⑨,简记左增右减增大减小x-𝒃𝟐𝒂x-𝒃𝟐𝒂(续表)图象a0a0最值对称轴顶点坐标小抛物线有最低点,当x=-𝑏2𝑎时,y有最⑩值,y最小值=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎抛物线有最高点,当x=-𝑏2𝑎时,y有最⑪值,y最大值=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎大直线x=-𝑏2𝑎-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎(续表)图象a0a0二次项系数a的特性|a|的大小决定抛物线的开口大小:|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即当x=0时,y=c考点四二次函数图象的平移抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示(假设h,k均为正数):图13-1【温馨提示】抛物线的平移需将抛物线对应的函数解析式化成顶点式,再遵循“上加下减,左加右减”的原则.一般式y=ax2+bx+c的平移,左右平移给自变量x加减平移单位,上下平移给等号右端整体加减平移单位.考点五二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系y下上项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向⑫a0开口向⑬bb=0对称轴为⑭轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧(续表)项目字母字母的符号图象的特征cc=0经过⑮c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有两个不同交点b2-4ac0与x轴没有交点原点(续表)项目字母字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=-1时,y0考点六二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个⑯的实数根1个b2-4ac=0两个⑰的实数根没有b2-4ac0⑱实数根不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于⑲的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方题组一必会题对点演练1.[九下P20习题第6(1)题改编]抛物线y=+1的对称轴是()A.y轴B.直线x=2C.直线x=-2D.直线x=1C2.[九下P13练习第1题改编]抛物线y=-3x2,y=13x2,y=5x2,y=-34x2的共同性质是()A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大[答案]B[解析]4条抛物线的开口方向分别为向下、向上、向上、向下,故选项A错误;4条抛物线的对称轴都是y轴,故选项B正确;4条抛物线分别有最高点、最低点、最低点、最高点,故选项C错误;任意抛物线在对称轴两侧的增减性都是相反的,故选项D错误.故选B.3.若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3,则k=.-1[答案]x1=-2,x2=1[解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴𝑦=𝑎𝑥2,𝑦=𝑏𝑥+𝑐的解为𝑥1=-2,𝑦1=4,𝑥2=1,𝑦2=1.则方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.4.[2018·孝感]如图13-2,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的方程ax2=bx+c的解是.图13-2[答案]x3或x5[解析]由函数图象可知,当x1或x3时,函数y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方,∴函数y=a(x-2)2+b(x-2)+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为3,5,∴不等式a(x-2)2+b(x-2)+c0的解集为x3或x5.故答案为x3或x5.5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-3所示,则不等式a(x-2)2+b(x-2)+c0的解集为.图13-3题组二易错题【失分点】对二次函数的意义理解不透,忽略隐含条件;求最值时,易忽略抛物线顶点的特征.6.已知函数y=(m+1)+3x,当m=时,它是二次函数.[答案]1[解析]∵函数y=(m+1)𝑥𝑚2+1+3x是二次函数,∴m2+1=2且m+1≠0,解得m=1.故答案是1.[答案]160[解析]当-2≤x≤0时,y随x的增大而减小,此时有y最大=(-2)2=4,y最小=0;当0≤x≤4时,y随x的增大而增大,此时有y最大=42=16,y最小=0.综上所述,在-2≤x≤4这个范围内,函数有最大值16,最小值0.7.在-2≤x≤4这个范围内,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.8.抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.3[答案]C[解析]抛物线y=2x2-22x+1,令x=0,得到y=1,即抛物线与y轴交点坐标为(0,1);令y=0,得到2x2-22x+1=0,即(2x-1)2=0,解得x1=x2=22,即抛物线与x轴交点坐标为22,0,则抛物线与坐标轴的交点个数是2,故选C.9.已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,则m的取值范围是.[答案]m≤-59且m≠-6[解析]因为关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,所以4(m-1)2-4(m+6)(m+1)≥0,解得m≤-59.又因为该函数是关于x的二次函数,所以m+6≠0,所以m≠-6,所以m的取值范围是m≤-59且m≠-6.考向一二次函数的表达式的求法例1(1)抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点.试求抛物线的解析式;(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).求二次函数解析式;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点.求这个二次函数的解析式.解:(1)由题意,得4𝑎-2𝑏+2=6,4𝑎+2𝑏+2=2,解得𝑎=12,𝑏=-1,∴抛物线解析式为y=12x2-x+2.例1(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).求二次函数解析式;解:(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0).∵二次函数的图象过点B(2,-5),∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.∴二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.例1(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点.求这个二次函数的解析式.解:(3)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入得a×1×(-3)=-3,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.【方法点析】求二次函数表达式时,已知三点坐标用一般式;已知顶点及另一个点的坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.|考向精练|1.[2012·徐州24题]二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(1)求b,c的值;(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.图13-4解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0),∴3=16+4𝑏+𝑐,0=9+3𝑏+𝑐,解得𝑏=-4,𝑐=3.1.[2012·徐州24题]二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;图13-4解:(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.1.[2012·徐州24题]二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.图13-4解:(3)列表如下:描点作图如下:x…01234…y…30-103…2.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数表达式为________________________________.y=𝟏𝟖x2-𝟏𝟒x+2或y=-𝟏𝟖x2+𝟑𝟒x+23.如图13-5,已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=9𝑥(x0)的图象相交于点B,且点B的横坐标为3,抛物线与y轴交于点C(0,6),A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点,点P是x轴上一动点,当PA+PB最小时,点P的坐标为.图13-5[答案]125,0[解析]∵点B的横坐标为3,且点B在反比例函数y=9𝑥的图象上,∴B(3,3).∵抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)经过B,C两点,∴9𝑎-12+𝑐=3,𝑐=6,解得𝑎=1,𝑐=6,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+6=(x-2)2+2,∴抛物线的顶点A的坐标为(2,2),∴点A关于x轴的对称点A'的坐标为(2,-2).设A'B所在的直线的解析式为y=kx+b,则2𝑘+𝑏=-2,3𝑘+𝑏=3,解得𝑘=5,𝑏=-12,∴直线A'B的解析式为y=5x-12,令y=0,解得x=125,∴直线A'B与x轴的交点坐标为125,0.根据两点之间线段最短,可得当P的坐标为125,0时,PA+PB最小.故答案为125,0.考向二二次函数的图象与性质例2已知抛物线y=-12(x+1)2+92.(1)当x取何值时,y随x的增大而减小?(2)当x取何值时,抛物线在x轴上方?解:(1)∵抛物线y=-12(x+1)2+92的对称轴是直线x=-1,开口向下,∴当x-1时,y随x的增大而减小.(2)当y=0时,即-12(x+1)2+92=0,解得x1=2,x2=-4,而抛物线开口向下,∴当-4x2时,抛物线在x轴上方.|考向精练|1.[2013·徐州8题]二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标满足下表:则该函数图象的顶点坐标为()A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)Bx…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…2.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.