搜索
第12课时反比例函数考点一反比例函数的概念考点聚焦【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.x≠0考点二反比例函数的图象与性质一般形式k的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值k(续表)k的符号k②0k③0增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限的y值大于第三象限的y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限的y值大于第四象限的y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题增大减小原点1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.考点三反比例函数比例系数k的几何意义2.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧=⑨S△𝐴𝑃𝑃1|𝒌|𝟐|k|2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.题组一必会题对点演练1.[八下P132练习第1题改编]已知反比例函数y=𝑛+3𝑥的图象在同一象限内,y随x的增大而增大,则n的取值范围是()A.n3B.n0C.n≥3D.n-3[答案]D[解析]由函数的图象在同一象限内,y随x的增大而增大,得n+30,解得n-3.故选D.2.[八下P143复习题第5题改编]已知反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点(-2,1),则当x=3时,y=.[答案]-23[解析]将(-2,1)代入y=𝑘𝑥中,得1=𝑘-2,则k=-2,所以该函数的表达式为y=-2𝑥.当x=3时,y=-23.[答案]D[解析]分别画出两个函数的图象即可判别.3.[八下P144复习题第9题改编]在平面直角坐标系中,函数y=3x与y=-1𝑥的图象是下列4个图象中的()图12-1[答案]S1=S2=S3图12-14.[八下P145复习题第11题改编]如图12-2,点P1,P2,P3分别是双曲线同一支上的三点,过这三点分别作y轴的垂线,垂足分别是A1,A2,A3,连接P1O,P2O,P3O,得到三个三角形:△P1A1O,△P2A2O,△P3A3O.设它们的面积分别为S1,S2,S3,则它们的大小关系是.[解析]∵点P1在双曲线上,∴P1A1·OA1=|k|,∴S1=12P1A1·OA1=12|k|,同理S2=12|k|,S3=12|k|,∴S1=S2=S3.题组二易错题【失分点】反比例函数图象与性质问题中函数的不连续性导致研究反比例函数的增减性要谨慎,利用一次函数与反比例函数图象确定自变量的取值范围时不要漏解.5.[2018·日照]已知反比例函数y=-8𝑥,下列结论:①图象必经过(-2,4);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x-1时,y8.其中错误的结论有()A.3个B.2个C.1个D.0个[答案]B[解析]将(-2,4)代入y=-8𝑥成立,①正确;k=-80,所以反比例函数的图象在第二、四象限,②正确;双曲线在每一象限内,y随x的增大而增大,③错误;当-1x0时,y8,④错误.所以错误的结论有2个,故选B.6.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=𝑘2𝑥(k1·k2≠0)的图象如图12-3所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x0或x1B.-2x1C.x-2或x1D.x-2或0x1D图12-3考向一反比例函数的概念例1[2019·盐城改编]如图12-4,一次函数y=x+1的图象交y轴于点A,与反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象交于点B(m,2).求反比例函数的表达式及m的值.图12-4解:∵一次函数y=x+1的图象经过点B,∴2=m+1,解得m=1,则点B的坐标为(1,2).又∵点B在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,∴k=2,∴反比例函数的表达式为y=2𝑥(x0).|考向精练|1.[2017·徐州12题]若反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点M(-2,1),则k=.[答案]-2[解析]∵点M(-2,1)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,∴k=xy=-2×1=-2.y=-𝟔𝒙2.[2016·徐州11题]若反比例函数的图象过点(3,-2),则其函数表达式为.考向二反比例函数的图象与性质例2已知函数y=a-12𝑥12𝑎+14,当a为何值时,它是反比例函数?它的图象在第几象限内?在各自象限内,y随x的增大是增大还是减小?当-3≤x≤-12时,函数的最大值、最小值各是多少?解:由已知得12𝑎+14=-1,𝑎-12≠0.解得a=-52.当a=-52时,它是反比例函数,解析式为y=-3𝑥.∵-30,∴它的图象在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.∴在-3≤x≤-12时,图象如图所示:当x=-3时,y有最小值1;当x=-12时,y有最大值6.|考向精练|1.[2019·徐州7题]若A(x1,y1),B(x2,y2)都在函数y=2019𝑥的图象上,且x10x2,则()A.y1y2B.y1=y2C.y1y2D.y1=-y2A2.[2017·徐州7题]如图12-5,在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=𝑚𝑥(m≠0)的图象相交于点A(2,3),B(-6,-1),则不等式kx+b𝑚𝑥的解集为()A.x-6B.-6x0或x2C.x2D.x-6或0x2图12-5B图12-63.[2017·潍坊]一次函数y=ax+b与反比例函数y=𝑎-𝑏𝑥,其中ab0,a,b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是()[答案]C[解析]∵ab0,∴a,b异号.选项A中由一次函数的图象可知a0,b0,则ab,由反比例函数的图象可知a-b0,即ab,产生矛盾,故A错误;选项B中由一次函数的图象可知a0,b0,则ab,由反比例函数的图象可知a-b0,即ab,产生矛盾,故B错误;选项C中由一次函数的图象可知a0,b0,则ab,由反比例函数的图象可知a-b0,即ab,两者一致,故C正确;选项D中由一次函数的图象可知a0,b0,则ab0,这与题设矛盾,故D错误.图12-74.[2018·安顺]如图12-7,已知直线y=k1x+b与x轴,y轴分别相交于P,Q两点,与y=𝑘2𝑥的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k20;②m+12n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b𝑘2𝑥的解集是x-2或0x1.其中正确结论的序号是.[答案]②③④[解析]由图象知,k10,k20,∴k1k20,故①错误;把A(-2,m),B(1,n)代入y=𝑘2𝑥中得k2=-2m=n,∴m+12n=0,故②正确;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b中得𝑚=-2𝑘1+𝑏,𝑛=𝑘1+𝑏.解得𝑘1=𝑛-𝑚3,𝑏=2𝑛+𝑚3.∵-2m=n,∴y=-mx-m.∵直线y=k1x+b与x轴、y轴分别相交于P,Q两点,∴P(-1,0),Q(0,-m).∴OP=1,OQ=m.∴S△AOP=12m,S△BOQ=12m,即S△AOP=S△BOQ,故③正确;由图象知,不等式k1x+b𝑘2𝑥的解集是x-2或0x1,故④正确.故②③④正确.考向三反比例函数的应用例3[2019·杭州]方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米.设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/时),且全程速度限定为不超过120千米/时.(1)求v关于t的函数表达式;(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地.求小汽车行驶速度v的范围;②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.解:(1)∵vt=480,且全程速度限定为不超过120千米/时,∴v关于t的函数表达式为v=480𝑡(t≥4).例3[2019·杭州]方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米.设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/时),且全程速度限定为不超过120千米/时.(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地.求小汽车行驶速度v的范围;②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.解:(2)①8点至12点48分时间长为245小时,8点至14点时间长为6小时,将t=6代入v=480𝑡,得v=80;将t=245代入v=480𝑡,得v=100.∴小汽车行驶速度v的范围为80≤v≤100.②方方不能在当天11点30分前到达B地.理由如下:8点至11点30分时间长为72小时,将t=72代入v=480𝑡,得v=9607120(千米/时),超速了.故方方不能在当天11点30分前到达B地.|考向精练|某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作.已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如下表所示:(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;(2)若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?第1天第2天第3天第4天售价x(元/双)150200250300销售量y(双)40302420解:(1)由表中数据得xy=6000,∴y=6000𝑥,∴y是x的反比例函数,函数关系式为y=6000𝑥.某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作.已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如下表所示:(2)若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?第1天第2天第3天第4天售价x(元/双)150200250300销售量y(双)40302420解:(2)根据题意,得(x-120)y=3000,把y=6000𝑥代入得(x-120)·6000𝑥=3000,解得x=240.经检验,x=240是原方程的解且符合实际.答:若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为240元.考向四反比例函数的综合问题微专题例4[2019·宿迁]如图12-8,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=-5𝑥的图象相交于点A(-1,m),B(n,-1).(1)求一次函数的表达式;(2)求△AOB的面积.角度1与一次函数结合图12-8解:(1)把A(-1,m),B(n,-1)代入y=-5𝑥,得m=5,n=5,∴A(-1,5),B(5,-1).把A(-1,5),B(5,-1)代入y=kx+b,得-𝑘+𝑏=5,5𝑘+𝑏=-1,解得𝑘=-1,𝑏=4.∴一次函数表达式为y=-x+4.例4[2019·宿迁]如图12-8,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=-5𝑥的图象相交于点A(-1,m),B(n,-1).(2)求△AOB的面积.图12-8解:(2)设