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第8课时一元一次不等式(组)及其应用考点一不等式的有关概念考点聚焦1.不等式:用符号“”“”表示大小关系的式子,以及用“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是①的不等式,叫做一元一次不等式.1考点二不等式的性质性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝑎𝑐④𝑏𝑐;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝑎𝑐⑥𝑏𝑐.性质1:如果ab,那么a±c②b±c;考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.x≤axb不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀⑦同大取大⑧同小取小⑨大小小大中间找⑩大大小小没有解x≥a,x𝑏x≤a,x𝑏x≥a,x𝑏x≤a,x𝑏无解a≤xb考点四利用不等式解决实际问题1.用不等式解决实际问题的一般步骤2.常用关键词与不等号的对比表常用关键词符号大于,多于,超过,高于⑪_________小于,少于,不足,低于⑫_________至少,不低于,不小于,不少于⑬_________至多,不高于,不大于,不超过⑭_________≥≤题组一必会题对点演练x≥-21.[七下P137习题第1(2)题改编]若一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图8-1所示,则此不等式组的解集是.图8-12.[七下P130习题第2(4)题改编]不等式2𝑥-13-4-𝑥+42的解集为.x2x-33.[七下P138习题第4(3)题改编]不等式组2𝑥-85𝑥+1,11-2𝑥21-4𝑥的解集为.4.[七下P141复习题第7题改编]某商品的成本为2000元,标价为2800元.如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售,那么最低可以打折出售这些商品.[答案]7.5[解析]设商家以标价的x折销售此商品.根据题意,得2800×𝑥10-20002000≥5%,解得x≥7.5.所以最低可以打7.5折出售这些商品.5.[七下P125练习第1题改编]已知ab,则下列式子中错误的是()A.a+2b+2B.4a4bC.-a-bD.4a-34b-3题组二易错题【失分点】不等式两边同时乘或除以负数,不等号改变方向.C考向一不等式的概念及性质例1[2018·宿迁]若ab,则下列结论不一定成立的是()A.a-1b-1B.2a2bC.-𝑎3-𝑏3D.a2b2[答案]D[解析]A选项,不等式两边同时减去1,不等号方向不变,故A成立;B选项,不等式两边同时乘2,不等号方向不变,故B成立;C选项,不等式两边同时乘-13,不等号方向改变,故C成立;D选项,举例,-5-2,但(-5)2(-2)2,故D不成立.故选D.|考向精练|已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图8-2所示,则下列式子正确的是()A.cbabB.acabC.cbabD.c+ba+b图8-2[答案]A[解析]解法1(直接法):由图知ca,且b0,∴cbab,故选A.解法2(特殊值法):根据a,b,c在数轴上对应点的位置,不妨取c=-2,b=-1,a=2,那么bc=2,ab=-2,此时cbab,A对C不对;ac=-4,ab=-2,此时acab,B不对;c+b=-3,a+b=1,此时c+ba+b,D不对.故选A.考向二一元一次不等式的解法例2[2019·攀枝花]解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.𝑥-25−𝑥+42-3.解:2(x-2)-5(x+4)-30,2x-4-5x-20-30,-3x-6,x2.不等式的解集在数轴上表示为:图8-3|考向精练|解:去分母得:3(1+x)-2(2x+1)≤1……①去括号得:3+3x-4x+1≤1………………②移项得:3x-4x≤1-3-1…………………③合并同类项得:-x≤-3…………………④两边都除以-1,得x≤3……………………⑤1.[2017·舟山]小明解不等式1+𝑥2−2𝑥+13≤1的过程如下,请指出他解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.解:错误的是①②⑤.正确的解答过程如下:去分母得,3(1+x)-2(2x+1)≤6,去括号得,3+3x-4x-2≤6,移项得,3x-4x≤6-3+2,合并同类项得,-x≤5,系数化为1得,x≥-5.2.当x取何值时,代数式4-𝑥3的值:(1)小于2𝑥+16的值?(2)不小于2𝑥+16的值?解:(1)根据题意,即求不等式4-𝑥32𝑥+16的解集.去分母,得24-2x2x+1,解得x234.∴当x取大于234的值时,4-𝑥3的值小于2𝑥+16的值.(2)根据题意,即求不等式4-𝑥3≥2𝑥+16的解集.解这个不等式,得x≤234.∴当x取不大于234的值时,4-𝑥3的值不小于2𝑥+16的值.考向三一元一次不等式组的解法例3[2019·扬州]解不等式组4(𝑥+1)≤7𝑥+13,𝑥-4𝑥-83,并写出它的所有负整数解.解:解不等式4(x+1)≤7x+13,得x≥-3;解不等式x-4𝑥-83,得x2,则不等式组的解集为-3≤x2,所以不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.|考向精练|1.[2019·徐州20(2)题]解不等式组:3𝑥2𝑥-2,2𝑥+1≥5𝑥-5.解:解不等式3x2x-2,得x-2;解不等式2x+1≥5x-5,得x≤2,所以不等式组的解集为-2x≤2.2.[2018·徐州20(2)题]解不等式组:4𝑥2𝑥-8,𝑥-13≤𝑥+16.解:解不等式4x2x-8,得x-4;解不等式𝑥-13≤𝑥+16,得x≤3,所以不等式组的解集为-4x≤3.3.[2017·徐州20(2)题]解不等式组:2𝑥0,𝑥+122𝑥-13.解:2𝑥0,①𝑥+122𝑥-13,②解不等式①得x0;解不等式②得x5,∴不等式组的解集为0x5.考向四与不等式(组)的解集有关的问题例4已知关于x的不等式组4𝑥+23(𝑥+𝑎),2𝑥3(𝑥-2)+5仅有三个整数解,则a的取值范围是.[解析]由4x+23(x+a),解得x3a-2.由2x3(x-2)+5,解得x1,所以3a-2x1.由关于x的不等式组4𝑥+23(𝑥+𝑎),2𝑥3(𝑥-2)+5仅有三个整数解,得-3≤3a-2-2,解得-13≤a0.[答案]-13≤a0|考向精练|[答案]B1.[2018·泰安]若不等式组𝑥-13-12𝑥-1,4(𝑥-1)≤2(𝑥-𝑎)有3个整数解,则a的取值范围是()A.-6≤a-5B.-6a≤-5C.-6a-5D.-6≤a≤-5[解析]解𝑥-13−12x-1得x4;解4(x-1)≤2(x-a)得x≤2-a.则不等式组的解集是4x≤2-a.∵不等式组有3个整数解,∴7≤2-a8,解得-6a≤-5,故选B.2.[2019·镇江]下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组𝑥+2𝑎,(2𝑎-1)𝑥-60的解集的是()图8-4[答案]B[解析]由x+2a得xa-2,A.由数轴知x-3,则a=-1,∴-3x-60,解得x-2,与数轴不符.B.由数轴知x0,则a=2,∴3x-60,解得x2,与数轴相符合;C.由数轴知x2,则a=4,∴7x-60,解得x,与数轴不符;D.由数轴知x-2,则a=0,∴-x-60,解得x-6,与数轴不符.故选B.考向五一元一次不等式的应用例5某大型企业为了保护环境,准备购买A,B两种型号的污水处理设备共8台,用于同时治理不同成分的污水.若购买A型2台,B型3台需54万元;若购买A型4台,B型2台需68万元.(1)求A型,B型污水处理设备的单价;(2)经核实,一台A型设备一个月可处理污水220吨,一台B型设备一个月可处理污水190吨.如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨,请你为该企业设计一种最省钱的购买方案.解:(1)设A型污水处理设备的单价为x万元,B型污水处理设备的单价为y万元.根据题意可得2𝑥+3𝑦=54,4𝑥+2𝑦=68,解得𝑥=12,𝑦=10.答:A型污水处理设备的单价为12万元,B型污水处理设备的单价为10万元.例5某大型企业为了保护环境,准备购买A,B两种型号的污水处理设备共8台,用于同时治理不同成分的污水.若购买A型2台,B型3台需54万元;若购买A型4台,B型2台需68万元.(2)经核实,一台A型设备一个月可处理污水220吨,一台B型设备一个月可处理污水190吨.如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨,请你为该企业设计一种最省钱的购买方案.解:(2)设购进a台A型污水处理设备,根据题意可得220a+190(8-a)≥1565,解得a≥1.5.∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高,∴A型污水处理设备购买量越少,越省钱,∴购进2台A型污水处理设备,6台B型污水处理设备最省钱.某小区决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱.若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个,且费用不超过10000元,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元?|考向精练|解:(1)设温馨提示牌的单价为x元,则垃圾箱的单价为3x元,列方程得2x+3×3x=550,解得x=50,所以温馨提示牌的单价为50元,垃圾箱的单价为150元.某小区决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱.若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个,且费用不超过10000元,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元?解:(2)设购买温馨提示牌m个,则购买垃圾箱(100-m)个,列不等式得50m+150(100-m)≤10000,解得m≥50.又∵100-m≥48,∴m≤52,∵m的值为整数,∴m的取值为50,51,52,即有3种购买方案.①当m=50时,100-m=50,即购买50个温馨提示牌和50个垃圾箱,其费用为:50×50+50×150=10000(元);②当m=51时,100-m=49,即购买51个温馨提示牌和49个垃圾箱,其费用为:51×50+49×150=9900(元);③当m=52时,100-m=48,即购买52个温馨提示牌和48个垃圾箱,其费用为:52×50+48×150=9800(元).综上所述,当购买52个温馨提示牌和48个垃圾箱时,所需资金最少,最少为9800元.