数学文-山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试

山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试数学试题(文科)2016．9说明：试题分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第3页至第5页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟．第I卷(共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项．．．．．．符合题意)(1)设集合241Axx，ln,Bxx则AB(A)11,22(B)10,2(C)1,12(D)10,2(2)己知复数21izi，其中i为虚数单位，则复数z在复平面上所对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)己知命题p：“000,32xx”，则p是(A)000,32xx(B)0,32xx(C)0,32xx(D)0,32xx(4)向量1,1,1,0,ab若2abab，则=(A)2(B)2(C)3(D)3(5)若变量,xy满足0,1,0.xyxyy则2zxy的最大值为(A)0(B)1(C)32(D)2(6)执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为(A)3(B)4(C)5(D)6(7)已知定义在R上的函数fx满足fxfx，3fxfx，则2019f(A)3(B)0(C)1(D)3(8)函数sin6fxx的图象同左平移3个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为(A)3x(B)4x(C)4x(D)2x(9)已知直线:20lkxykR是圆22:6290Cxyxy的对称轴，过点0,Ak作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为(A)2(B)22(C)3(D)23(10)己知函数2lnxxbfxbRx.若存在1,22x，使得fxxfx，则实数b的取值范围是(A),2(B)3,2(C)9,4(D),3第II卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)(11)已知函数5log,0,2,0xxxfxx则125ff__________．(12)在区间1,2上任取一个数x，则事件“112x”发生的概率为__________.(13)己知120,0,24mnmnmn，则的最小值为______________．(14)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱11,BBCC上的点(异于端点)，且EF//BC，则四棱锥1AAEFD的体积为_____________．(15)已知双曲线2222:1xyCab的左、右焦点分别是12,FF，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且114AFBF，则双曲线C的离心率为___________．三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(16)(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知1cos23A，3,sin6sincAC．(I)求a的值；(II)若角A为锐角，求b的值及ABC的面积．(17)(本小题满分12分)某汽车公司为了考查某4S店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组［0，2)，第二组［2，4)，第三组［4，6)，第四组［6，8)，第五组［8，10］，得到频率分布直方图如图所示．(I)求所打分值在［6，10］的客户的人数：(II)该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．(18)(本小题满分12分)已知等差数列na的公差d=2，前n项的和为nS．等比数列nb满足11ba，24313,baba.(I)求,nnab及数列nb的前n项和nB；(II)记数列1nS的前n项和为nT，求nT.(19)(本小题满分12分)在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．(I)求证：AO⊥CD；(II)求证：平面AOF⊥平面ACE．(20)(本小题满分13分)已知函数lnmxfxx，曲线yfx在点22,efe处的切线与直线20xy垂直(其中e为自然对数的底数)．(I)求fx的解析式及单调递减区间：(II)是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，2lnkfxxx恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．(21)(本小题满分14分)已知椭圆2222:10xyCabab的一个焦点与抛物线24yx的焦点相同，12,FF为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，12MFF面积的最大值为1.(I)求椭圆C的方程；(II)直线:0lykxmm交椭圆C于A，B两点．(i)若直线22AFBF与的斜率分别为1212,,0kkkk且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；(ii)若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求△AOB面积的取值范围．山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试数学（文科）答案1-10DBBCCCBDDC11-15141321213+13（16）解：(Ⅰ)在ABC中，因为3,sin6sincAC，由正弦定理sinsinacAC，解得32a．…………………4分(Ⅱ)因为21cos22cos13AA，又02A，所以3cos3A，6sin3A由余弦定理2222cosabcbcA，得22150bb.解得5b或3b（舍）.152sin22ABCSbcA.…………………12分（17）解：(Ⅰ)由直方图知，所打分值在6,10的频率为0.1752+0.1502=0.65．所以所打分值在6,10的客户的人数为0.65100=65人……………….4分(Ⅱ)由直方图知，第二、三组客户人数分别为10人和20人，所以抽出的6人中，第二组有2人，设为A，B；第三组有4人，设为a,b,c,d．从中随机抽取2人的所有情况如下：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种．………………8分其中，两人来自不同组的情况有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共有8种，………………………10分所以，得到奖励的人来自不同组的概率为158．……………………12分（18）解：（Ⅰ）因为等差数列{na}的公差2d，由题知：2213bbb，所以2111(24)(6)aaa，解之得13a得3(1)221nann，设等比数列{nb}的公比为q，则24113baqba，所以=3.nnb于是3(13)3(31)132nnnS………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2)nSnn，所以11111()(2)22nSnnnn因此111111111111[(1)()()()()()]23243546112nTnnnn1111323(1)221242(1)(2)nnnnn………………12分（19）证明：（Ⅰ）因为ABE为等边三角形，O为BE的中点，所以AOBE．又因为平面ABE平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE，AO平面ABE，所以AO平面BCDE．又因为CD平面BCDE，所以AOCD．……………………………………………………………6分（Ⅱ）连结BD，因为四边形BCDE为菱形，所以CEBD．因为,OF分别为,BEDE的中点，所以//OFBD，所以CEOF．由（Ⅰ）可知，AO平面BCDE．因为CE平面BCDE，所以AOCE.因为AOOFO，所以CE平面AOF．又因为CE平面ACE，所以平面AOF平面ACE．…………………………………………………12分（20）解：（Ⅰ）函数fx的定义域为0,11+，.2)(ln)1(ln)(xxmxf，又由题意有：21()42mfe，所以2m，故xxxfln2)(.此时，2)(ln)1(ln2)(xxxf，由100)(xxf或ex1，所以函数)(xf的单调减区间为)1,0(和),1(e.…………………………………5分（Ⅱ）要xxkxf2ln)(恒成立，即xxxxkxxkxx2ln2ln2lnln2.①当)1,0(x时，0lnx，则要：xxxkln22恒成立，令22lngxxxx，则2ln2xxgxx令2ln2hxxx，则10xhxx所以)(xh在)1,0(内递减，所以当)1,0(x时，0)1()(hxh，故0)()(xxhxg，所以)(xg在)1,0(内递增，()(1)2gxg.故2k.②当),1(x时，0lnx，则要：xxxkln22恒成立，由①可知，当),1(x时，0)(xh，所以)(xh在),1(内递增，所以当),1(x时，0)1()(hxh，故0)()(xxhxg，所以)(xg在),1(内递增，()(1)2gxg.故2k.综合①②可得：2k，即存在常数2k满足题意.……………………………………13分（21）解：（Ⅰ）由抛物线的方程24yx得其焦点为1,0，所以的椭圆中1c，当点M为椭圆的短轴端点时，12MFF面积最大，此时1212Scb，所以1b．，1F，2F为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点，12MFF面积的最大值为1．所以椭圆的方程为2212xy……………………………………4分（Ⅱ）联立2212xyykxm得2221+24220kxkmxm2222=1642122kmkm228210km，得2212km（*）设1122,,,,AxyBxy则1224,12kmxxk21222212mxxk，（i）1111111ykxmkxx，2222211ykxmkxx，由1+k2=0k，得11+1kxmx22=01kxmx,所以12122+20kxxmkxxm，即2222242201212mkmkmkmkk，得2mk.故直线l的方程为2ykx，因此直线l恒过定点，该定点坐标为2,0……………………………………9分（ii）因直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项，所以2OAOBkkk，即21212yykxx.得21212()()kxmkxmkxx，得2120kmxxm，所以22224012kmmk，又0m，所以212k，代入（*），得202m.2121ABkxx2=32m.设点O到直线AB的距离为d，则2231mmdk，所以222222211222232=22222223AOBmmmSABdmmm当且仅当222mm，即210,2m时，