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第6课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:图6-1未知数最简公分母3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.0考点二分式方程的实际应用1.列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同,不同的是要检验两次:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验求出的解是否符合实际意义.2.常见类型及关系式:(1)行程问题:相同路程甲速度−相同路程乙速度=时间差,相同路程慢速−相同路程快速=时间差;(2)工程问题:工作总量原工作效率−工作总量新工作效率=时间差,甲工作总量甲工作效率−乙工作总量乙工作效率=时间差;(3)购买(盈利)问题:总价单价=数量,商品总售价变化后商品单价−商品总售价变化前商品单价=数量差.题组一必会题对点演练1.[八下P118练习第2题改编]甲、乙两个机器人检测零件,甲比乙每小时多检测10个,甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等.设甲机器人每小时检测零件x个,根据题意,下面所列方程正确的是()A.300𝑥+10=200𝑥B.300𝑥-10=200𝑥C.300𝑥=200𝑥+10D.300𝑥=200𝑥-10D3.[八下P118习题第3题改编]小丽与小明同时为艺术节做小红花,小明比小丽每小时多做2朵.已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等,则小丽每小时做小红花朵.62.解方程3𝑥=2𝑥-2,得x=.18题组二易错题【失分点】解分式方程去分母将其转化为一元一次方程过程中易漏乘不含分母的项;去括号、移项易出现符号错误;分式方程的应用题中找等量关系列方程及双重验根容易失分.D4.[2018·德州]分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解5.[2018·常州模拟]解方程𝑥2𝑥-1=1-21-2𝑥得x=.-1[答案]a5且a≠3[解析]去分母得,1-a+2=x-2,解得x=5-a,因为解为正数,所以5-a0,解得a5,当x=5-a=2时,a=3不合题意,故a5且a≠3.故答案为:a5且a≠3.6.[2019·宿迁]若关于x的分式方程1𝑥-2+𝑎-22-𝑥=1的解为正数,则a的取值范围是.考向一分式方程的解法例1[2019·徐州20(1)题]解方程:𝑥-2𝑥-3+1=23-𝑥.解:去分母,得:x-2+x-3=-2,解得x=32.检验:当x=32时,x-3≠0,所以原方程的解为x=32.|考向精练|[答案]C[解析]两边同时乘(2x-1),得x-2=3(2x-1).故选C.1.[2019·益阳]解分式方程𝑥2𝑥-1+21-2𝑥=3时,去分母化为一元一次方程,正确的是()A.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-1)D.x+2=3(2x-1)解:方程两边同时乘(x-2),得x-3+x-2=-3,解得x=1.当x=1时,x-2=1-2=-1≠0,∴原方程的解为x=1.2.[2016·徐州20(1)题]解方程:𝑥-3𝑥-2+1=32-𝑥.解:方程两边同乘x(x+1),得2(x+1)-3x=0,去括号得,2x+2-3x=0,解得x=2,经检验x=2是原方程的解.∴原方程的解为x=2.3.[2017·徐州20(1)题]解方程:2𝑥=3𝑥+1.考向二分式方程的应用例2[2019·扬州]“绿水青山就是金山银山”.为了更进一步优化环境,甲、乙两个工程队承担河道整治任务.甲、乙两队每天共整治河道1500米,且甲工程队整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等.甲工程队每天整治多少米?解:设甲工程队每天整治x米,则乙工程队每天整治(1500-x)米.根据题意可得:3600𝑥=24001500-𝑥,解得x=900.经检验,x=900是原方程的根.答:甲工程队每天整治900米.|考向精练|解:设B车行驶的时间为xh,则A车行驶的时间为(1+40%)xh.根据题意得:700(1+40%)𝑥+80=700𝑥,解得x=2.5.经检验x=2.5是分式方程的解.(1+40%)x=3.5.答:A车、B车的行驶时间分别为3.5h和2.5h1.[2018·徐州24题]徐州至北京的高铁里程约为700km.甲、乙两人从徐州出发,分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h,A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%,两车的行驶时间分别为多少?2.[2014·徐州24题]几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴的人数.图6-2解:设票价为x元.由题意得,360-720.6𝑥=360𝑥+2,解得x=60.经检验,x=60是原方程的解且符合题意.则小伙伴的人数为:360-720.6𝑥=8(人).答:小伙伴的人数为8人.