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第5课时一次方程(组)及其应用等式的概念表示①关系的式子,叫做等式等式的性质性质1如果a=b,那么a±c=b±c(c可以是数或整式)性质2考点一等式的概念与性质考点聚焦如果a=b,那么ac=bc,𝑎𝑐=𝑏𝑐(c②0)相等≠考点二方程及相关概念方程的概念含有未知数的③叫做方程方程的解使方程左右两边的值④的未知数的值叫做方程的⑤,一元方程的解,也叫它的根解方程求方程的解的过程叫做解方程等式相等解考点三一元一次方程的定义及解法定义只含有⑥个未知数,且未知数的最高次数是⑦次的整式方程,叫做一元一次方程一般形式ax+b=0(a≠0)解一元一次方程的一般步骤(1)去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数(2)去括号:注意括号前的系数与符号(3)移项:把含有未知数的项移到方程的一边,其他项移到另一边,注意移项要改变符号一1(续表)解一元一次方程的一般步骤(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式(5)系数化为1:方程两边同时除以x的系数,得x=𝑏𝑎的形式【温馨提示】去分母时方程两边都乘最小公倍数,注意不要漏乘.考点四二元一次方程组的有关概念二元一次方程含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑧的整式方程,叫做二元一次方程二元一次方程的解适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.任何一个二元一次方程都有无数个解二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的⑨叫做二元一次方程组的解1公共解考点五二元一次方程组的解法1.基本方法:⑩消元法和⑪消元法.【温馨提示】代入消元法:方程组中有一个方程未知数的系数是1或-1时,选择代入消元法比较简单.加减消元法:方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数或成整数倍关系时,选择加减消元法比较简单.2.基本思想:消元,化二元为一元.代入加减考点六一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意,分清题中的已知量、未知量2.设设未知数,设其中某个未知量为x,并注意单位.对于含有两个未知量的问题,可以设两个未知数3.列根据题意寻找等量关系列方程(组)4.解解方程(组)5.验检验方程(组)的解是否符合题意6.答写出答案(包括单位)常见的应用题类型及基本数量关系(1)行程问题:路程=速度×时间.①相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程.③航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度.(2)工程问题:工作总量=工作效率×工作时间;各部分工作量之和=1.(3)销售问题:售价=标价×折扣;销售额=售价×销量;利润=售价-进价;利润=进价×利润率.题组一必会题对点演练1.[七下P97练一练第2题改编]已知苹果的单价为x元/千克,梨的单价为y元/千克,苹果的单价比梨的单价贵0.5元,买5千克苹果和4千克梨共花去20.5元.列出关于x,y的二元一次方程组为()A.5𝑥+4𝑦=20.5,𝑥-𝑦=0.5B.4𝑥+5𝑦=20.5,𝑥-𝑦=0.5C.5𝑥+4𝑦=20.5,𝑥+𝑦=0.5D.4𝑥+5𝑦=20.5,𝑥+𝑦=0.5A2.[七下P102习题第2(4)题改编]方程组𝑥2+𝑦3=16,𝑥3-𝑦4=5的解是.𝒙=𝟐𝟒,𝒚=𝟏𝟐3.[七上P115复习题第10题改编]某动物园的门票价格如下表:国庆节该动物园共售出840张门票,收入13600元.则成人票售出张,儿童票售出张.520320成人20元/人身高超过1m,不足1.4m的儿童10元/人4.[七上P104习题第7题改编]已知y1=x+3,y2=2-x,(1)当x=时,y1=y2;(2)当x=时,y1比2y2大5.2-𝟏𝟐题组二易错题5.[七上P104习题第6(4)题改编]方程𝑥+12-1=2-3𝑥3的解是()A.x=-73B.x=13C.x=79D.x=19【失分点】解一元一次方程过程中去分母易漏乘不含分母的项,去括号、移项易出现符号错误;一次方程(组)的应用中找错等量关系.C6.[2019·淮安]某公司用火车和汽车运输两批物资,具体运输情况如下表所示:试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨?所用火车车皮数量(节)所用汽车数量(辆)运输物资总量(吨)第一批25130第二批43218解:设每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资x吨、y吨,由题意得2𝑥+5𝑦=130,4𝑥+3𝑦=218,解得𝑥=50,𝑦=6.答:每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资50吨、6吨.考向一等式的概念及性质例1程大位《直指算法统宗》里有一道著名算题:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁.”意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,试问大、小和尚各多少人?设大和尚有x人,依题意列方程得()A.𝑥3+3(100-x)=100B.𝑥3-3(100-x)=100C.3x+100-𝑥3=100D.3x-100-𝑥3=100[解析]∵大和尚有x人,∴小和尚有(100-x)人,根据“大和尚1人分3个”,可知x个大和尚共分3x个馒头,“小和尚3人分1个”,可知(100-x)个小和尚共分100-𝑥3个馒头,根据大、小和尚共分100个馒头可得3x+100-𝑥3=100,故选C.[答案]C【方法点析】构建方程(或方程组)模型,首先应找到题目中的相等关系,可先用文字把等量关系写出来,再把文字用代数式表示,即可列出满足题意的方程(或方程组).|考向精练|设x,y,c是实数,()A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则𝑥𝑐=𝑦𝑐D.若𝑥2𝑐=𝑦3𝑐,则2x=3y[答案]B[解析]A.两边加不同的数,故A不成立;B.两边都乘c,故B成立;C.c=0时,两边都除以c无意义,故C不成立;D.两边乘不同的数,故D不成立.故选B.考向二一元一次方程的解法解:4x-3=2x-2,4x-2x=-2+3,2x=1,x=12.例2解方程:4x-3=2(x-1).|考向精练|[答案]-4[解析]根据题意,得x-5=2x-1,解得x=-4,故答案为-4.1.若代数式x-5与2x-1的值相等,则x的值是.2.[2018·攀枝花]解方程:𝑥-32−2𝑥+13=1.解:去分母得,3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号得,3x-9-4x-2=6,移项得,3x-4x=6+9+2,合并同类项得,-x=17,系数化为1得,x=-17.考向三二元一次方程(组)的有关概念例3已知x=2,𝑦=3是关于x,y的二元一次方程3x=y+a的一组解,求(a+1)(a-1)+7的值.解:将𝑥=2,𝑦=3代入3x=y+a中,得a=3.∴(a+1)(a-1)+7=a2-1+7=a2+6=9.|考向精练|[2019·常州]若𝑥=1,𝑦=2是关于x,y的二元一次方程ax+y=3的一组解,则a=.1考向四二元一次方程组的解法例4解方程组:𝑥+𝑦=12,①2𝑥+𝑦=20.②方法一(加减法):方法二(代入法):解:方法一(加减法):②-①,得x=8.把x=8代入①,得8+y=12,解得y=4.∴原方程组的解是𝑥=8,𝑦=4.方法二(代入法):由①得y=12-x,③把③代入②,得2x+(12-x)=20,解得x=8.把x=8代入③,得y=12-8=4.∴原方程组的解是𝑥=8,𝑦=4.|考向精练|1.[2011·徐州14题]方程组3𝑥+𝑦=3,2𝑥-𝑦=2的解为.𝒙=𝟏,𝒚=𝟎2.[2019·菏泽]已知𝑥=3,𝑦=-2是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=-3的解,则a+b的值是()A.-1B.1C.-5D.5[答案]A[解析]将𝑥=3,𝑦=-2代入𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=-3,可得:3𝑎-2𝑏=2,3𝑏-2𝑎=-3,两式相加得a+b=-1,故选A.考向五一次方程(组)的应用解:(1)设一只A型球x千克,一只B型球y千克.由题意得:𝑥+𝑦=7,3𝑥+𝑦=13,解得𝑥=3,𝑦=4.答:一只A型球3千克,一只B型球4千克.例5[2019·盐城]体育器材室有A,B两种型号的实心球,1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克.(1)一只A型球、B型球的质量分别是多少千克?(2)现有A型球、B型球的质量共17千克,则A型球、B型球各有多少只?解:(2)设A型球a只,B型球b只.则3a+4b=17,∴a=17-4𝑏3,∵a,b分别是正整数,∴𝑎=3,𝑏=2.答:A型球有3只,B型球有2只.例5[2019·盐城]体育器材室有A,B两种型号的实心球,1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克.(2)现有A型球、B型球的质量共17千克,则A型球、B型球各有多少只?|考向精练|1.[2015·徐州24题]某超市为促销,决定对A,B两种商品进行打折出售.打折前,买6件A商品和3件B商品需要54元,买3件A商品和4件B商品需要32元.打折后,买50件A商品和40件B商品仅需364元,打折前需要多少元?解:设打折前A商品的单价为x元,B商品的单价为y元.根据题意,得6𝑥+3𝑦=54,3𝑥+4𝑦=32,解得𝑥=8,𝑦=2,则50×8+40×2=480(元).答:打折前需要的钱数是480元.2.[2016·徐州24题]小丽购买学习用品的数据如下表,因污损导致部分数据无法识别.根据下表,解决下列问题:(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔各几支?(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具,共花费15元,则有哪几种不同的购买方案?商品名单价(元)数量(个)金额(元)签字笔326自动铅笔1.5记号笔4软皮笔记本29圆规3.51合计828解:(1)从表格中,容易求出软皮笔记本的单价=9÷2=4.5(元).圆规的总价为3.5×1=3.5(元).设买了自动铅笔x支,记号笔y支.根据题意得2+𝑥+𝑦+2+1=8,6+1.5𝑥+4𝑦+9+3.5=28,即𝑥+𝑦=3,1.5𝑥+4𝑦=9.5,解方程组得𝑥=1,𝑦=2.答:小丽买了自动铅笔1支,记号笔2支.2.[2016·徐州24题]小丽购买学习用品的数据如下表,因污损导致部分数据无法识别.根据下表,解决下列问题:(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具,共花费15元,则有哪几种不同的购买方案?商品名单价(元)数量(个)金额(元)签字笔326自动铅笔1.5记号笔4软皮笔记本29圆规3.51合计828解:(2)设小丽后来买了m个软皮笔记本和n支自动铅笔.根据题意,得4.5m+1.5n=15,即3m+n=10,由题意可知m,n为正整数,∴满足题意的解为𝑚=1,𝑛=7或𝑚=2,𝑛=4或𝑚=3,𝑛=1.答:有三种购买方案:软皮笔记本1个,自动铅笔7支;软皮笔记本2个,自动铅笔4支;软皮笔记本3个,自动铅笔1支.3.[2017·徐州24题]4月9日上午8时,2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛,下面是两个孩子与记者的对话:根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.图5-1解:设今年妹妹x岁,哥哥y岁.依题意得𝑥+𝑦=16,3(𝑥+2)+(𝑦+2)=34+2,解得𝑥=6,𝑦=10,答:妹妹6岁,哥哥10岁.