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2016年山西省祁县中学校高三月考数学试题（理科）一.单选题（每小题5分，共12小题，总分60分）1.已知i是虚数单位,则2016i=()A.1B.iC.i-D.-12.已知集合21,1AxyxByyx，则=BA（）A、B、[1,1]C、[1,)D、[1,)3．已知等比数列}{na中，11=a，且43,2,24aaa成等差数列，则432aaa++等于()A．1B．4C．14D．154.“=0a”是“函数1()sinfxxax为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的直观图如图所示,该几何体的正视图和侧视图可能正确的是()6.直线１－+=kkxy与椭圆14922=+yx的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.不确定7.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3,把一枚半径为1的硬币任意平掷在这个平面中,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A.B.C.D.8.如图，程序框图的输出结果为－18，那么判断框①表示的“条件”应该是（）A.?10iB．?9iC．?8iD．?7i9.设点o在ABC内部，且有230OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积的比为（）A.2B.32C.3D.5310.矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A.12512B.1259C.1256D.125311.函数ln||||xxyx的图像可能是（）12.数列na满足,,2,,1taattataannnnn当11tat（其中2t）时有)(*Nkaankn，则k的最小值为（）A.10B.8C.6D.4二.填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）13.设xdxnsin420∫=π,则ｎ）－（x1x2展开式中的常数项为14.如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A,D为双曲线的焦点,其余四个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率为.15.记约束条件nnxyyx300）（*∈Nn所表示的平面区域内的整点个数为na，则ABDCyOx11yOx11yOx11yOx11ABDC数列{}na的前n项和=ns16.函数)2,0∈,cossin2cossin)(π［xxxxxxf++•=的最小值为三.解答题（17—21题每题12分，选做题10分，总分70分）17.(本小题满分12分)如图，平面四边形ABCD中，5AB，22AD，3CD，30CBD，120BCD，求：（Ⅰ）ADB；（Ⅱ）ADC的面积S.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC.(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.19.(本小题满分12分)第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.20.(本小题满分12分)已知抛物线2:2Cypx经过点(2,2)M，C在点M处的切线交x轴于点N，直线1l经过点N且垂直于x轴.（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线2:lxmyb交C于点A和B，交1l于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：2l是否过定点？请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()xfxe（2.71828e是自然对数的底数）,()ln(1)gxx.（1）若()()()Fxfxgx，求()Fx的极值；（2）对任意0,x证明：()(1)fxgx；（3）对任意0,x都有()1axgxx成立，求实数a的取值范围.请考生在第22.23.24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，每题共10分．22.几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．23.坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．24.不等式选讲已知定义在R上的函数()|1||2|fxxx的最小值为a．(1)求a的值；(2)若,,pqr是正实数，且满足pqra，求证：2223pqr．2016年山西省祁县中学校高三月考数学试题（理科）参考答案一.单选题（每小题5分，共12小题，总分60分）123456789101112ADCCABBCCCBD二.填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）13.2414.31+15.2)1(3+nn16.－２3三.解答题（17—21题每题12分，选做题10分，总分70分）(17)【解析】（Ⅰ）在BCD中，由正弦定理得：33sin31sin22CDBDBCDCBD，……………2分在ABD中，由余弦定理得：222cos2ADBDABADBADBD222(22)3(5)222223………4分所以45ADB……………6分（Ⅱ）因为30CBD，120BCD，所以30CDB因为62sinsin(4530)4ADC……………8分所以1sin2SADCDADC16233223242……………12分18.解：(1)设AC的中点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG∥PB,且EG在平面AEC上,所以PB∥平面AEC.(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(3,0,0),E31,0,22,C(3,m,0).所以AD=(3,0,0),AE=31,0,22,AC=3,,0m.设平面ADE的法向量为1n=(x1,y1,z1),则1nAD=0,1nAE=0,解得一个1n=(0,1,0).同理设平面ACE的法向量为2n=(x2,y2,z2),则2nAC=0,2nAE=0,解得一个2n=(m,-3,-3m).因为cos3=|cos12,nn|=1212nnnn=22333mm=12,解得m=32.设F为AD的中点,则PA∥EF,且PA=2EF=12,EF⊥面ACD,即为三棱锥E-ACD的高.所以VE-ACD=错误!未找到引用源。·S△ACD·EF=13×12×32×3×12=38.所以,三棱锥E-ACD的体积为38.19题【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。……………6分（Ⅱ）解：X的可能取值为0,1,2,3，设事件ABC、、分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则2432(0)()()()(1)(1)55125PXPAPBPC(1)()()()PXPABCPABCPABC1224434319(1)(1)(1)55555125C(2)()()()PXPABCPABCPABC2124344356()(1)(1)55555125C(3)()()()PXPAPBPC24348()55125故X的分布列为X0123P2125191255612548125……………10分21956481101231251251251255EX……………12分(20)【解析】（Ⅰ）由抛物线2:2Cypx经过点(2,2)M，得中国俄罗斯123456828143762224p，故1p，C的方程为22yx…………2分C在第一象限的图象对应的函数解析式为2yx，则12yx故C在点M处的切线斜率为12，切线的方程为12(2)2yx令0y得2x，所以点N的坐标为(2,0)故线段ON的长为2…………5分（Ⅱ）2l恒过定点(2,0)，理由如下：由题意可知1l的方程为2x，因为2l与1l相交，故0m由2:lxmyb，令2x，得2bym，故2(2,)bEm设1122(,),(,)AxyBxy由22xmybyx消去x得：2220ymyb则122yym，122yyb…………7分直线MA的斜率为1121112222222yyyxy，同理直线MB的斜率为222y直线ME的斜率为224bm因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以1222222212242bbmyym即1212121212122(4)42112()42()42yyyybyyyyyyyym……………10分整理得：22222bbmbm，因为2l不经过点N，所以2b所以222mbm，即2b故2l的方程为2xmy，即2l恒过定点(2,0)………………12分21.解析：（1）设'1()ln(1)()001xxFxexFxexx令当(1,0)x，'()0Fx，当(0,)x，'()0Fx所以当(1,0)x时，()Fx单调递减，当(0,)x时，()Fx单调递增从而当0x时，()Fx取得的极小值(0)1F（2）证明：令()1xGxex，'()1xGxe，当(0,)x，'()0Gx所以当(0,)x时()Gx单调递增；()(0)0(0)GxGx；所以10xexln(1)xx，(1)ln(2)(1)xxgx()1(1)xfxexgx所以()(1)fxgx（3）令()(1)ln(1)hxxxax，'()ln(1)1hxxa，令'()0hx解得11.axe（i）当1a时，110axe所以对所有0x，'()0hx；()hx在[0,)上是增函数.所以有()(0)0(0)hxhx即当1a时，对于所有0x，都有()1axgxx.（ii）当1a时，对于101,()0axehx，所以()hx在1(0,1)ae上是减函数，从而对于101axe有()(0)0hxh，即(1)ln(1)xxax，所以当1a时，不是对所有的0x都有()1axgxx成立.综上，a的取值范围是].1,(22（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．