数学理-山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试

山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试数学（理科）试题第I卷(共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项．．．．．．符合题意)1.已知集合213,230AxZxBxxx，则RACBA.2,1B.1,4C.2,3D.1,02.记复数z的共轭复数为z，若12zii，则复数z的虚部为A.iB.1C.iD.13.函数sin34yx的图象可由函数sin3yx的图象A.向左平移12个单位长度而得到B.向右平移12个单位长度而得到C.向左平移4个单位长度而得到D.向右平移4个单位长度而得到4.高三学生体检，某班级随机抽取5名女学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）的数据如下表：根据上表可得回归直线方程为0.92yxa，则aA.96.8B.96.8C.104.4D.104.45.如图给出的是计算1111124640304032的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A.4030iB.4030iC.4032iD.4032i6.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（）种A.36B.9C.18D.157.下列说法正确的是A.若aR，则“11a”是“1a”的必要不充分条件B.“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C.若命题:,sincos2pxRxx“”，则p是真命题D.命题“2000,230xRxx”的否定是“2,230xRxx8.已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为A.23B.3C.433D.2339.已知直线1:210lxy，直线2:10laxby，其中,1,2,3,4,5,6ab.则直线12ll与的交点位于第一象限的概率为A.16B.14C.13D.1210.已知定义在R上的偶函数fx满足4fxfx，且1,3x时，21cos,132,11,xxfxxx，则lggxfxx的零点个数是A.9B.10C.18D.20第II卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.已知函数2log,0143,0xxxfxffx，则__________.12.由直线,,033xxy与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为________.13.二项式912xx展开式中，3x项的系数为__________.14.已知不等式组01014312xyxyzxxy，则的最大值为_________.15.过双曲线222210,0xyabab的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线220ypxp于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1,2OPOFOQ则双曲线的离心率的平方为________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在ABC中，,,abc分别是角A,B,C的对边，cos2,2cosCacacBb且.（I）求角B；（II）求边长b的最小值.17.（本小题满分12分）在研究寨卡病毒（Zikavirus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z症状的情况，做接种试验.试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现Z症状的概率为14，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关.（I）若出现Z症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；（II）若在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期.设接种试验持续的接种周期为，求的分布列及数学期望.18.（本小题满分12分）已知等比数列na的前n项和为nS，公比22340,22,2qSaSa.（I）求数列na的通项公式；（II）设nnnnbba，求的前n项和nT19.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点.（I）求证：EF//平面PAD；（II）若2PA，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q-AP-D的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:10xyCabab的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.（I）用椭圆C的方程；（II）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点,0Tt，使得OPTPPQTQ？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数ln111fxxkxkR.（I）求函数fx的单调区间；（II）若0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（III）证明：1ln2ln3lnn23414nnNNnn且.山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试数学（理科）参考答案2016．9一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分）1-10DDAACBACAC二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.1912．313.22114.315.512三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）解：（I）由已知cos2sinsin,cossinCACBB即cossin2sinsincos,CBACBsin2sincos,BCABsin2sincos,AAB…………………………………………………4分△ABC中，sin0A，故1cos,.23BB……………………………6分（Ⅱ）由（I）,3B因此222222cosbacacBacac………………………………9分由已知22343bacacac……………………………………10分2434312ac……………………………………11分故b的最小值为1.………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（Ⅰ）试验至多持续一个接种周期的概113133113937=4444444166464P…5分（Ⅱ）随机变量1,2,3,设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”，则2233331315(1)()()(),4443255135(2)[1()]()(1),32321024729(3)[1()][1()]1,91024PPCCCPPCPCPPCPC分所以的分布列为：123P53213510247291024的数学期望51357292617123.1232102410241024E分18.(本题满分12分)（1）由已知2222Sa①，342Sa②，①-②得3422aaa即220qq……………………2分又02qq……………………3分22122111122,22222Saaaaaaqaqa……………5分2nna……………………6分（2）由（1）知nnnb2……………7分nnnnnT221......2322211321432221......23222121nnnnnT.................9分错位相减1432221......2121212121nnnnT............11分nnnT222.....................12分19．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴1//2MFDC，正方形ABCD中E为AB中点，∴1//2AEDC，∴//AEMF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，12，0），F（12，12，1），……5分由题易知平面PAD的法向量为n=（0，1，0），…………6分假设存在Q满足条件：设EQEF，…………7分∵1(,0,1)2EF，∴1(,,)22Q，1(,,)22AQ，λ∈，设平面PAQ的法向量为(,,)xyz，由10220xyzz，可得(1,,0)，…………9分∴2cos,||||1mnmnmn，…………10分由已知：2551，解得：12，…………11分所以满足条件的Q存在，是EF中点．…………12分20.(本题满分13分)解：（1）由题意知1c，又tan603bc，所以23b，……………2分2224abc，所以椭圆的方程为：22143xy；……………4分（2）设直线PQ的方程为：(1),(0)ykxk，代入22143xy，得：2222(34)84120kxkxk，设1122(,),(,)PxyQxy，线段PQ的中点为00(,)Rxy，则2120002243,(1)23434xxkkxykxkk，……………7分由QPTPPQTQ得：()(2)0PQTQTPPQTR，所以直线TR为直线PQ的垂直平分线，直线TR的方程为：222314()3434kkyxkkk，……………9分令0y得：T点的横坐标22213344ktkk，……………10分因为2(0,)k，所以234(4,)k，所以1(0,)4t.……………12分所以线段OF上存在点(,0)Tt使得QPTPPQTQ，其中1(0,)4t.……………13分21.（本小题满分14分）（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）∴f′（x）=﹣k，…………1分当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，…………2分当k＞0时，令f′（x）=0，得x=当f′（x）＜0，即1＜x＜时，函数为减函数，当f′（x）＞0，即x＞时，函数为增函数，…………4分综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，函数f（x）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．（Ⅱ）由（1）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，…………6分当k＞0时，函数f（x）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．当x=时，f（x）取最大值，f（）=ln≤0…………8分∴k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞）…………10分（Ⅲ）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2∴＜1﹣，…………11分∵ln1nn==＜=…………12分取x=3，4，5…n，n+1累加得…………13分∴+…+＜+++…+=，（n∈N，n＞1）.……14分