广东省揭阳市2016届高三数学第二次模拟试题-理(含解析)

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数23()=ln(2)1xfxxxx的定义域为（A）(2,)（B）(1,2)（C）(0,2)（D）[1,2]答案：B解析：根据根式、分式、对数的概念，可得：21020xxx，即102xx，解得：12x。（2）已知复数21izi(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则zz（A）2i（B）2i（C）-2（D）2答案：C解析：因为21izi2(1)(1)(1)iiii＝1i，1zi，所以，zz－2。（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)abck，若2ab与c共线，则k的值为（A）-3（B）-1（C）1（D）3答案：C解析：2ab＝(3,3)，因为2ab与c共线，所以，3k＝33，所以，k＝1（4）已知命题:,1lgpxRxx，命题1:(0,),sin2sinqxxx，则下列判断正确的是（A）命题pq是假命题（B）命题pq是真命题（C）命题()pq是假命题（D）命题()pq是真命题答案：D解析：画出函数1yx与lgyx的图象可知，当x＝1时，有1x＝lgx，当x＞0且x1时，有1x＞lgx，故命题p是真命题；当2x时，1sin2sinxx，故q是假命题，从而有()pq是真命题。（5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A）1415（B）815（C）25（D）415答案：A解析：从4名男生、2名女生中选派4人共有46C＝15种选法，其中至少有1名女生的选法有：13222424CCCC＝14种，故所求概率为：1415。（6）已知函数2log,(0)()2,(0)xxxfxx，则不等式()1fx的解集为（A）(2,)（B）(,0)（C）(,0)(2,)（D）(0,2)答案：C解析：画出函数f（x）的图象，如图，由2log1x，得2x，由2x＝1，得x＝0，所以，由图可得不等式f（x）＞1的解集为(,0)(2,)，（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为（A）4cm（B）3cm（C）2cm（D）1cm答案：B解析：设球的半径为r，则由3V球+V水=V柱，得3243(66)33rrrr（8）已知函数2()fxxax的图象在点A(1,(1))f处的切线l与直线310xy垂直，记数列1{}()fn的前n项和为nS，则2016S的值为（A）20152016（B）20162017（C）20142015（D）20172018答案：B解析：题意知2()fxxax的图象在点A(1,(1))f处的切线斜率'(1)231kfaa，故1111()(1)1fnnnnn，201611111122320162017S12016120172017．（9）函数()(1cos)sinfxxx在[,]的图象的大致形状是答案：A解析：由()12f可排除（C）、(D)，由33()134f可排除（B）,故选(A).（10）实数,xy满足条件20,40,3.xyxyx则22yx的取值范围为（A）[4,)（B）1[,2]3（C）[0,4]（D）1[,4]9答案：D解析：画出不等式表示的平面区域，如图所示，设ykx，则k为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k，故2149k.（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2(B)206(C)142(D)16答案：A解析：几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222.（12）在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线2xye交于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线lnyx交于点C、D，则直线CD的斜率为（A）3（B）2（C）1（D）12答案：C解析：设直线l的方程为(0)ykxk，且1122(,),(,)AxyBxy，故121xkxe，222xkxe12221211,xxxexekk，则122212121211ln()ln()lnlnxxCDeexxkkkxxxx121211ln(2)lnln(2)ln1xexekkxx.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布2(200,10)N，则(190)PX=__________．(附：若Z～2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0.9544.)答案：0.8413解析：(190)PX=1()()0.52PXPX0.8413(14)已知双曲线22221(0,0)xyabab两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为.答案：233或2解析：（1）双曲线两条渐近线在y轴两旁的夹角为60°时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为60°、120°，所以，tan603ba，又22222(3)cabaa，解得离心率2cea。（2）双曲线两条渐近线在x轴两旁的夹角为60°时，其中一条渐近线的倾斜角为30°，所以，3tan303ba，ABCD又222223()3cabaa，解得离心率cea233。(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k值为.答案：6解析：第1步：s＝1，k＝2；第2步：s＝2，k＝3；第3步：s＝6，k＝4；第4步：s＝15，k＝5；第5步：s＝31，k＝6；第6步：s＝56，退出循环，此时k=6(16)已知等差数列{}na满足18130,58aaa，则前n项和nS取最大值时，n的值为.答案：21解析：由81358aa得11135(7)8(12)61adadda，由1113(1)(1)()061naandana1213n，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC中，AD是BC边的中线，120BAC，且152ABAC.(Ⅰ)求△ABC的面积；(Ⅱ)若5AB，求AD的长.图4解析：解：(Ⅰ)∵152ABAC，∴115cos22ABACBACABAC,---2分即15ABAC，----------------------------------------------------3分∴315311sin152224ABCSABACBAC.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB得3AC，延长AD到E，使AD=DE，连结BE，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC为平行四边形，∴60ABE,且3BEAC-----------8分设ADx，则2AEx，在△ABE中，由余弦定理得：222(2)2cos2591519xABBEABBEABE,-----------------------10分解得192x，即AD的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB得3AC，在△ABC中，由余弦定理得：2222cos2591549BCABACABACBAC,得7BC，----------------------------------------------------------------------------------------------7分由正弦定理得：sinsinBCABBACACD，得35sin532sin714ABBACACDBC，----------------------------------------9分∵090ACD∴211cos1sin14ACDACD，--------------10分在△ADC中，22249711192cos92342144ADACCDACCDACD，解得192AD.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB得3AC，在△ABC中，由余弦定理得：2222cos2591549BCABACABACBAC,得7BC，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC中，2229492511cos223714ACBCABACBACBC,------------9分在△ADC中，由22249711192cos92342144ADACCDACCDACD，解得192AD.-------------------------------------------------------12分】(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg.当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg.图5（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X（单位：元）的分布列；（Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．解析：解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1ab，得100()0.45ab，----------------------------------------------1分由3001004000.45001006000.15455ab，得3005002.05ab，-----------------------------------------------3分解得0.0010a；----------------------------------------------------5分（Ⅱ）依题意知X的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分∵(3600)0.1PX，(4800)0.4PX，(5000)0.35PX，(3600)0.15PX，∴X的分布列为