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第一节随机事件的概率1.事件的分类2.频率和概率3.事件的关系与运算4.概率的几个基本性质教材研读考点一随机事件的关系考点二随机事件的频率与概率考点三互斥事件、对立事件概率公式的应用考点突破教材研读1.事件的分类确定事件必然事件在条件S下,①一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下,②一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下,③可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的④次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=⑤ 为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的⑥频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.Ann3.事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系若事件A发生,则事件B⑦一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)⑧B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A,且B⊆A,则称事件A与事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当⑨事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当⑩事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为 不可能事件,则称事件A与事件B互斥A∩B=⌀对立事件若A∩B为 不可能事件,A∪B为 必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件A∩B=⌀且A∪B=U(U为全集)4.概率的几个基本性质(1)概率的范围为 [0,1].(2)必然事件的概率为 1.(3)不可能事件的概率为 0.(4)概率的加法公式若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)= 1,P(A)= 1-P(B).知识拓展概率加法公式的推广(1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(2)P( )=1-P(A1∪A2∪…∪An)=1-P(A1)-P(A2)-…-P(An).▶注意涉及的各事件要彼此互斥.12nAAA1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)事件发生的频率与概率是相同的. (✕)(2)随机事件和随机试验是一回事. (✕)(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都发生. (✕)(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件. (√)(6)两互斥事件的概率和为1. (✕)答案(1)✕(2)✕(3)√(4)✕(5)√(6)✕2.下列事件中,随机事件的个数为 ()①物体在只受重力的作用下会自由下落;②方程x2+2x+8=0有两个实根;③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次;④下周六会下雨.A.1B.2C.3D.4答案B①为必然事件,②为不可能事件,③④为随机事件.B3.(教材习题改编)总数为10万张的彩票,中奖率是 ,下列说法中正确的是 ()A.买1张一定不中奖B.买1000张一定有一张中奖C.买2000张一定中奖D.买2000张不一定中奖11000答案D彩票中奖属于随机事件,故买1张也可能中奖,买2000张也可能不中奖.D4.(教材习题改编)某学习小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生” ()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件,也不是对立事件C答案C“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件,故选C.5.袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为 ()A.①B.②C.③D.④答案A由题意可知,事件③④均不是互斥事件;①②为互斥事件,但②也是对立事件,故满足题意的只有①,故选A.A6.(教材习题改编)甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的概率是.1213答案 56解析乙不输即两人和棋或乙获胜,因此乙不输的概率为 + = .121356随机事件的关系考点突破典例1(1)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶(2)从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;D③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是 ()A.①B.②④C.③D.①③(3)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是 ,则概率是 的事件是()A.至多有1张移动卡B.恰有1张移动卡C.都不是移动卡D.至少有1张移动卡310710CA答案(1)D(2)C(3)A解析(1)事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.(2)③,“至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”,而从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,根据取到数的奇偶性知共有三种情况:“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件;易知其余都不是对立事件.(3)“至多有1张移动卡”包含“1张是移动卡,1张是联通卡”“2张全是联通卡”两种情况,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.方法技巧判断互斥、对立事件的方法1.定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.2.集合法(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.(2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.A1-1一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则 ()A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件D答案DA∩B={出现的点数是1或3},故事件A,B不互斥更不对立;B∩C=⌀,B∪C=U,故事件B,C是对立事件.随机事件的频率与概率典例2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解析(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25℃,由表格数据知,最高气温低于25℃的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;2163690若最高气温低于20℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃,由表格数据知,最高气温不低于20℃的频率为 =0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.36257490方法技巧1.频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.2-1某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得60502003030200保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.互斥事件、对立事件概率公式的应用典例3一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.解析记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},则P(A1)= ,P(A2)= = ,P(A3)= = ,P(A4)= .根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = .512412132121611251241234(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = .5124122121112方法技巧求复杂互斥事件概率的方法1.直接求解法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算;2.间接求解法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求解,即正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”型题目,用间接求解法比较简单.▶提醒应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各个事件发生的概率,再求和(或差).3-1某超市为了解顾客的