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山西省阳泉市2016届高三全国高校招生考试模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】考查集合的运算。，，考查交集的定义，画出数轴可以看出。2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），则|1﹣z|=（）A．B．C．2D．1【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】代入复数直接利用求模的运算法则求解即可．【解答】解：复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），则|1﹣z|=|1﹣（﹣1﹣i）|=|2+i|==．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3．设{an}是等差数列，若log2a7=3，则a6+a8等于（）A．6B．8C．9D．16【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据a6+a8=2a7，即可得出结论．【解答】解：由题意，log2a7=3，∴a7=8，∵{an}是等差数列，∴a6+a8=2a7=16，故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．4．已知点在椭圆上，则的最大值为（）A.B.-1C.2D.7【答案】D5．已知向量=（m，2），向量=（2，﹣3），若|+|=|﹣|，则实数m的值是（）A．﹣2B．3C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】将等式两边平方，运用向量的平方即为模的平方，结合向量的数量积的坐标表示，解m的方程，即可得到．【解答】解：若|+|=|﹣|，则（+）2=（﹣）2，即+2=﹣2，即=0，由向量=（m，2），向量=（2，﹣3），则2m﹣6=0，解得m=3．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6．山西阳泉某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2B．3C．4D．5【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（）A．n=n+2，i=15B．n=n+2，i＞15C．n=n+1，i=15D．n=n+1，i＞15【考点】程序框图．【专题】计算题．【分析】首先分析，要计算需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．【解答】解：①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2∴n=n+2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件而分母从1到29共15项∴i＞15故选B．【点评】本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．8．三棱锥及其三视图中的正视图和俯视图如图所示，则A.B.C.D.【答案】B【考点】考查空间几何体的表面积、棱长。9．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6B．0C．2D．2【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．a=cB．b=cC．2a=cD．a2+b2=c2【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=30°，由正弦定理化简b=a，得到sinB=sinA=，∴B=60°或120°，当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，得到a=c，综上，b=c不一定成立，故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．11．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S△BFO+S△AFO=••y1+••|y2=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．12．已知函数f（x）=g（x）=，则函数f[g（x）]的所有零点之和是（）A．B．C．D．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先求得f[g（x）]的解析式，x≥0时，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0时，由=0，可解得：x=﹣，从而可求函数f[g（x）]的所有零点之和．【解答】解：∵f（x）=g（x）=，∴f[g（x）]=，且f[g（x）]=x2﹣2x+2，（0＜x＜2）分情况讨论：①x≥2或x=0时，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；②x＜0时，由=0，可解得：x=﹣．③当0＜x＜2时，由x2﹣2x+2=0，无解．∴函数f[g（x）]的所有零点之和是1=．故选：B．【点评】本题主要考察了函数的零点，函数的性质及应用，属于基本知识的考查．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上。13．已知tanα=，则tan（α+）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由两角和与差的正切函数公式即可求值．【解答】解：tan（）===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．14．若是等差数列，首项，则使成立的最大正整数是____________.【答案】403015．某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是[0，3]任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）【考点】回归分析．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．【解答】解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．16．点A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，因为球的表面积为，所以4πr2=所以r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17．已知函数．（1）若，求的值；（2）在锐角中，，，分别是角，，的对边；若的面积，求的值．【答案】：……2分（1），则，…(2).,所以.又∵,所以,所以,即.又∵为,且，所以.由余弦定理得.解得（舍负），所以.18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）在线段PA上，是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）利用面面垂直的性质定理即可证明；（II）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF．由平行线分线段成比例定理在三角形中的应用，即可得到EF∥AD，．利用已知条件即可得到，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴AC⊥PD．（Ⅱ）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．下面给出证明：∵AD=3，∴在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF．∵，∴EF∥AD，．又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．【点评】熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．19．某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是0﹣9的某个整数（1）若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为谁去比较合适？（2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100]之间的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，可得a值，求出方差比较后，可得结论；（2）先计算从甲的成绩中任取两次成绩的抽法总数，和至少有一次成绩在（90，100]之间的抽法数，代入古典概型概率计算公式可得答案．【解答】解：（1）由已知中的茎叶图可得：甲的平均分为：（88+89+90+91+92