湖南省娄底市2016届高三数学上学期期中联考试题-理

湖南省娄底市2015-2016学年高三上学期期中考试联考数学（理科）试题一．选择题：（每题5分）1.若复数32zii(i是虚数单位)，则zA．32iB．32iC．23iD．23i2.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝()A．[0，1]B．(0，1]C．[0，1)D．(－∞，1]3.设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4.要得到函数y＝sin4x－π3的图像，只需将函数y＝sin4x的图像()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位5.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n06.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数7.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A．f(2)f(－2)f(0)B．f(0)f(2)f(－2)C．f(－2)f(0)f(2)D．f(2)f(0)f(－2)9.已知AB→⊥AC→，||AB→＝1t，||AC→＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝AB→||AB→＋4AC→||AC→，则PB→·PC→的最大值等于()A．13B．15C．19D．2110.若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．911.设函数f(x)＝3x－1，x1，2x，x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0，1]C.23，＋∞D．[1，＋∞)12.若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A．11fkkB．111fkkC．1111fkkD．111kfkk二．填空题：（每题5分）13.已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．14.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．15.若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为.16.曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．三．解答题：（第17题10分，其余的每题12分）17.已知向量m＝(1，3cosα)，n＝(1，4tanα)，α∈－π2，π2，且m·n＝5.(1)求|m＋n|；(2)设向量m与n的夹角为β，求tan(α＋β)的值．18.设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．19.设a为实数，给出命题p：函数f(x)＝a－32x是R上的减函数，命题q：关于x的不等式12|x－1|≥a的解集为∅.(1)若p为真命题，求a的取值范围；(2)若q为真命题，求a的取值范围；(3)若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．20.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.21设函数f(x)＝3x2＋axex(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．22.已知函数f()x＝alnx－ax－3(a≠0)．(1)讨论f()x的单调性；(2)若f()x＋()a＋1x＋4－e≤0对任意x∈[]e，e2恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证：ln()22＋1＋ln()32＋1＋ln()42＋1＋…＋ln()n2＋11＋2lnn！(n≥2，n∈Ν*)．高三数学理科联考试题答案一．选择题：DABBDAAAADCC二．填空题：13.314.1015.316.16三．解答题：17.已知向量m＝(1，3cosα)，n＝(1，4tanα)，α∈－π2，π2，且m·n＝5.(1)求|m＋n|；(2)设向量m与n的夹角为β，求tan(α＋β)的值．解：(1)由m·n＝1＋12cosαtanα＝5，得sinα＝13.因为α∈－π2，π2，所以cosα＝223，tanα＝24.则m＝(1，22)，n＝(1，2)，所以m＋n＝(2，32)，所以|m＋n|＝22.(2)由(1)知m＝(1，22)，n＝(1，2)，所以cosβ＝53×3＝539，即sinβ＝1－5392＝69，所以tanβ＝25，所以tan(α＋β)＝24＋251－24×25＝22.18.设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意知f(x)＝sin2x2－1＋cos2x＋π22＝sin2x2－1－sin2x2＝sin2x－12.由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)；单调递减区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．(2)由fA2＝sinA－12＝0，得sinA＝12.由题意知A为锐角，所以cosA＝32.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立，因此12bcsinA≤2＋34，所以△ABC面积的最大值为2＋34.19.设a为实数，给出命题p：函数f(x)＝a－32x是R上的减函数，命题q：关于x的不等式12|x－1|≥a的解集为∅.(1)若p为真命题，求a的取值范围；(2)若q为真命题，求a的取值范围；(3)若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．解：(1)命题p：“函数f(x)＝a－32x是R上的减函数”为真命题，得0a－321，所以32a52；(2)由q为真命题，则由012|x－1|≤1，得a1；(3)∵p且q为假，p或q为真，所以p、q中一真一假．若p真q假，则a不存在；若p假q真，则1a≤32或a≥52.综上，a的取值范围为：1a≤32或a≥52.20.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)由题意有，10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，解得a1＝1，d＝2或a1＝9，d＝29.故an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝19（2n＋79），bn＝9·29n－1.(2)由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.②①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，故Tn＝6－2n＋32n－1.21.设函数f(x)＝3x2＋axex(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝（6x＋a）ex－（3x2＋ax）ex（ex）2＝－3x2＋（6－a）x＋aex，因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝3x2ex，f′(x)＝－3x2＋6xex，故f(1)＝3e，f′(1)＝3e，从而曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3e＝3e(x－1)，化简得3x－ey＝0.(2)由(1)知f′(x)＝－3x2＋（6－a）x＋aex.令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0解得x1＝6－a－a2＋366，x2＝6－a＋a2＋366.当xx1时，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝6－a＋a2＋366≤3，解得a≥－92，故a的取值范围为－92，＋∞.22.已知函数f()x＝alnx－ax－3(a≠0)．(1)讨论f()x的单调性；(2)若f()x＋()a＋1x＋4－e≤0对任意x∈[]e，e2恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证：ln()22＋1＋ln()32＋1＋ln()42＋1＋…＋ln()n2＋11＋2lnn！(n≥2，n∈Ν*)．4．解：(1)f′(x)＝a（1－x）x(x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)令F(x)＝alnx－ax－3＋ax＋x＋4－e＝alnx＋x＋1－e，x∈[e，e2]，则F′(x)＝x＋ax.若－a≤e，即a≥－e，则F(x)在[]e，e2上是增函数，故F(x)max＝F(e2)＝2a＋e2－e＋1≤0，即a≤e－1－e22，无解．若e－a≤e2，即－e2≤a－e，则F(x)在[e，－a)上是减函数，在(－a，e2]上是增函数，故F(e)＝a＋1≤0，即a≤－1，F(e2)＝2a＋e2－e＋1≤0，即a≤e－1－e22，∴－e2≤a≤e－1－e22.若－ae2，即a－e2，则F(x)在[]e，e2上是减函数，故F(x)max＝F(e)＝a＋1≤0，即a≤－1，∴a－e2.综上，a≤e－1－e22.(3)证明：令a＝－1，此时f(x)＝－lnx＋x－3，∴f(1)＝－2.由(1)知f(x)＝－lnx＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，∴当x∈(1，＋∞)时，f(x)f(1)，即－lnx＋x－10，∴ln