板块命题点专练(十五)命题点一排列、组合命题指数:☆☆☆☆难度:中题型:选择题、填空题1.(2016·全国甲卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9解析:选B由题意可知E→F有C24种走法,F→G有C13种走法,由乘法计数原理知,共C24·C13=18种走法,故选B.2.(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72解析:选D第一步,先排个位,有C13种选择;第二步,排前4位,有A44种选择.由分步乘法计数原理,知有C13·A44=72(个).3.(2015·广东高考)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)解析:由题意,全班同学共写了A240=40×39=1560条毕业留言.答案:15604.(2014·北京高考)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.解析:将A,B捆绑在一起,有A22种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有A44种摆法,共有A22A44=48种摆法,而A,B,C3件在一起,且A,B相邻,A,C相邻有CAB,BAC两种情况,将这3件与剩下2件全排列,有2×A33=12种摆法,故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有48-12=36种.答案:365.(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析:分情况:一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为C23C11A24=36;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为A34=24,则获奖情况总共有36+24=60(种).答案:60命题点二二项式定理命题指数:☆☆☆☆难度:中题型:选择题、填空题1.(2015·湖南高考)已知x-ax5的展开式中含x32的项的系数为30,则a=()A.3B.-3C.6D.-6解析:选DTr+1=Cr5(x)5-r·-axr=Cr5(-a)rx5-2r2,由5-2r2=32,解得r=1.由C15(-a)=30,得a=-6.2.(2014·浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210解析:选C由题意知f(3,0)=C36C04,f(2,1)=C26C14,f(1,2)=C16C24,f(0,3)=C06C34,因此f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120,选C.3.(2016·全国乙卷)(2x+x)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)解析:(2x+x)5展开式的通项为Tr+1=Cr5(2x)5-r(x)r=25-r·Cr5·x5-r2.令5-r2=3,得r=4.故x3的系数为25-4·C45=2C45=10.答案:104.(2016·天津高考)x2-1x8的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)解析:x2-1x8的通项Tr+1=Cr8(x2)8-r-1xr=(-1)rCr8x16-3r,当16-3r=7时,r=3,则x7的系数为(-1)3C38=-56.答案:-565.(2014·全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)解析:(x+y)8中,Tr+1=Cr8x8-ryr,令r=7,再令r=6,得x2y7的系数为C78-C68=8-28=-20.答案:-20命题点三几何概型命题指数:☆☆☆☆难度:中题型:选择题、填空题1.(2016·全国乙卷)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析:选B如图,7:50至8:30之间的时间长度为40分钟,而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7:50至8:00之间或8:20至8:30之间到达发车站,此两种情况下的时间长度之和为20分钟,由几何概型概率公式知所求概率为P=2040=12.故选B.2.(2015·福建高考)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x0的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12解析:选B因为f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x0,B点坐标为(1,0),所以C点坐标为(1,2),D点坐标为(-2,2),A点坐标为(-2,0),故矩形ABCD的面积为2×3=6,阴影部分的面积为12×3×1=32,故P=326=14.3.(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解析:选C因为x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn都在区间[0,1]内随机抽取,所以构成的n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界),如图所示.若两数的平方和小于1,则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对),故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得S扇形S正方形=mn,即π4=mn,所以π=4mn.命题点四概率、离散型随机变量及其分布命题指数:☆☆☆☆☆难度:中、低题型:选择题、填空题、解答题1.(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解析:选A3次投篮投中2次的概率为P(X=2)=C23×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(X=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(X=2)+P(X=3)=C23×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选A.2.(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析:选A根据条件概率公式P(B|A)=PABPA,可得所求概率为0.60.75=0.8.3.(2015·湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772解析:选C由P(-1X≤1)=0.6826,得P(0X≤1)=0.3413,则阴影部分的面积为0.3413,故估计落入阴影部分的点的个数为10000×0.34131×1=3413,故选C.4.(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是__________.解析:法一:由题意可知每次试验不成功的概率为14,成功的概率为34,在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=116,P(X=1)=C12×14×34=38,P(X=2)=342=916.所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P11638916则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)=0×116+1×38+2×916=32.法二:此试验满足二项分布,其中p=34,所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)=np=2×34=32.答案:325.(2015·北京高考)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bi为“乙是B组的第i个人”,i=1,2,…,7.由题意可知P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,…,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.(3)a=11或a=18.6.(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解:(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=1-(0.30+0.15)=0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=PABPA=PBPA=0.150.55=311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.7.(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙