2018届高三数学(理)一轮复习求空间角及应用考点专练(十二)

板块命题点专练（十二）命题点向量法求空间角及应用命题指数：☆☆☆☆☆难度：中题型：解答题1．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8．因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10．于是MH＝EH2－EM2＝6，所以AH＝10．以D为坐标原点，DA―→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE―→＝(10,0,0)，HE―→＝(0，－6,8)．设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则n·FE―→＝0，n·HE―→＝0，即10x＝0，－6y＋8z＝0，所以可取n＝(0,4,3)．又AF―→＝(－10,4,8)，故|cos〈n，AF―→〉|＝|n·AF―→||n||AF―→|＝4515．所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为4515．2．(2014·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D­AE­C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E­ACD的体积．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO．因为平面ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．(2)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB―→的方向为x轴的正方向，|AP―→|为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D(0，3，0)，E0，32，12，AE―→＝0，32，12．设B(m,0,0)(m0)，则C(m，3，0)，AC―→＝(m，3，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1·AC―→＝0，n1·AE―→＝0，即mx＋3y＝0，32y＋12z＝0，可取n1＝3m，－1，3．又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|＝12，即33＋4m2＝12，解得m＝32．因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为12．三棱锥E­ACD的体积V＝13×12×3×32×12＝38．3．(2016·山东高考)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，求二面角F­BC­A的余弦值．解：(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI．在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF．又EF∥OB，所以GI∥OB．在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HI∥BC．又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．(2)法一：连接OO′，则OO′⊥平面ABC．又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz．由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)．过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3)．故BC―→＝(－23，－23，0)，BF―→＝(0，－3，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由m·BC―→＝0，m·BF―→＝0，可得－23x－23y＝0，－3y＋3z＝0.可得平面BCF的一个法向量m＝－1，1，33．因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝77，所以二面角F­BC­A的余弦值为77．法二：如图，连接OO′，过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OO′．又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝FB2－BM2＝3．过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F­BC­A的平面角．又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin45°＝62．从而FN＝422，可得cos∠FNM＝77．所以二面角F­BC­A的余弦值为77．4．(2016·天津高考)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O­EF­C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．解：依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以AD―→，BA―→，OF―→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1，0)，C(1，－1，0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0，0)．(1)证明：依题意，AD―→＝(2,0,0)，AF―→＝(1，－1,2)．设n1＝(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则n1·AD―→＝0，n1·AF―→＝0，即2x1＝0，x1－y1＋2z1＝0，不妨取z1＝1，可得n1＝(0,2,1)．又EG―→＝(0,1，－2)，可得EG―→·n1＝0．又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF．(2)易证OA―→＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，EF―→＝(1,1,0)，CF―→＝(－1,1,2)．设n2＝(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则n2·EF―→＝0，n2·CF―→＝0，即x2＋y2＝0，－x2＋y2＋2z2＝0，不妨取x2＝1，可得n2＝(1，－1,1)．因此有cos〈OA―→，n2〉＝OA―→·n2|OA―→|·|n2|＝－63，于是sin〈OA―→，n2〉＝33．所以，二面角O­EF­C的正弦值为33．(3)由AH＝23HF，得AH＝25AF．因为AF―→＝(1，－1,2)，所以AH―→＝25AF―→＝25，－25，45，进而有H－35，35，45，从而BH―→＝25，85，45．因此cos〈BH―→，n2〉＝BH―→·n2|BH―→|·|n2|＝－721．所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721．5．(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10．(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B­D′A­C的正弦值．解：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD．又由AE＝CF，得AEAD＝CFCD，故AC∥EF．因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H．由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝AB2－AO2＝4．由EF∥AC，得OHDO＝AEAD＝14．所以OH＝1，D′H＝DH＝3．于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH．又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD．(2)如图，以H为坐标原点，HF―→的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H­xyz，则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，故AB―→＝(3，－4,0)，AC―→＝(6,0,0)，AD′―→＝(3,1,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则m·AB―→＝0，m·AD′―→＝0即3x1－4y1＝0，3x1＋y1＋3z1＝0，所以可取m＝(4,3，－5)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则n·AC―→＝0，n·AD′―→＝0，即6x2＝0，3x2＋y2＋3z2＝0，所以可取n＝(0，－3,1)．于是cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝－1450×10＝－7525．故sin〈m，n〉＝29525．因此二面角B­D′A­C的正弦值是29525．