北京市西城区2016年高三二模试卷数学(文科)2016.5第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设全集UR,集合{|0}Axx,{|1}Bxx,则集合()UABð()(A)(,0)(B)(,0](C)(1,)(D)[1,)2.下列函数中,既是奇函数又在R上单调递减的是()(A)1yx(B)exy(C)3yx(D)lnyx3.设x,y满足约束条件2,1,10,yxxyy≤≤≥则3zxy的最大值是()(A)43(B)73(C)13(D)14.执行如图所示的程序框图,如果输出的115S,那么判断框内应填入的条件是()(A)3i(B)4i(C)5i(D)6i否输出S是2,1iS开始11iSSi1ii结束5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若1sin()3AB,3a,4c,则sinA()(A)23(B)14(C)34(D)166.“0mn”是“曲线221mxny+=为焦点在x轴上的椭圆”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费()fx(元)满足关系,0,()(),.CxAfxCBxAxA≤ìïï=íï+-ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为()(A)11.5元(B)11元(C)10.5元(D)10元8.设直线l:340xya++=,圆22(2)2Cxy:-+=,若在直线l上存在一点M,使得过M的圆C的切线MP,MQ(,PQ为切点)满足90PMQ?o,则a的取值范围是()(A)[18,6]-(B)[652,652]-+(C)[16,4]-(D)[652,652]---+第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知复数(2i)(1i)z,则在复平面内,z对应点的坐标为_____.10.设平面向量,ab满足||||2ab,()7aab,则向量,ab夹角的余弦值为_____.11.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为_____.12.设双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为22yx,则其离心率为____;若点(4,2)在C上,则双曲线C的方程为____.13.设函数22,1,()log,1,xxfxxx≥那么1[()]2ff____;若函数()yfxk有且只有两个零点,则实数k的取值范围是_____.14.在某中学的“校园微电影节”活动中,学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影,则称A电影不亚于B电影.已知共有5部微电影参展,如果某部电影不亚于其他4部,就称此部电影为优秀影片.那么在这5部微电影中,最多可能有____部优秀影片.2正(主)视图侧(左)视图俯视图112三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数2()(13tan)cosfxxx.(Ⅰ)求函数()fx的定义域和最小正周期;(Ⅱ)当π(0,)2x时,求函数()fx的值域.16.(本小题满分13分)已知数列{}na的前n项和nS满足432nnaS,其中nN.(Ⅰ)求证:数列{}na为等比数列;(Ⅱ)设142nnban,求数列{}nb的前n项和nT.17.(本小题满分14分)如图,在周长为8的矩形ABCD中,,EF分别为,BCDA的中点.将矩形ABCD沿着线段EF折起,使得60DFA.设G为AF上一点,且满足//CF平面BDG.(Ⅰ)求证:EFDG;(Ⅱ)求证:G为线段AF的中点;(Ⅲ)求线段CG长度的最小值.18.(本小题满分13分)某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层FEGABDCCABFEDCC抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)写出a的值;(Ⅱ)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;(Ⅲ)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,求至少抽到1名高中生的概率.19.(本小题满分13分)已知函数2()()xafxxa.(Ⅰ)若()1fa,求a的值;(Ⅱ)设0a≤,若对于定义域内的任意1x,总存在2x使得21()()fxfx,求a的取值范围.20.(本小题满分14分)已知抛物线C:24xy,过点)0)(,0(mmP的动直线l与C相交于BA,两点,抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线BQAQ,与x轴分别相交于点FE,.(Ⅰ)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)求证:点Q在直线ym上;(Ⅲ)判断是否存在点P,使得四边形PEQF为矩形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.O时间(小时)10203040500.0050.0250.030频率组距0.035高中生组O时间(小时)10203040500.005a频率组距初中生组0.0200.040北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学(文科)2016.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.C3.B4.C5.B6.D7.A8.C二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(3,1)10.3411.312.6222184xy13.121(,)214.5注:第12,13题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:函数()fx的定义域为{|xxR,且ππ,}2xkkZ.………………2分又因为2()(13tan)cosfxxx2sin(13)coscosxxx………………3分2cos3sincosxxx1cos23sin222xx………………7分π1sin(2)62x,………………9分所以()fx的最小正周期为2ππ2T.(验证知其定义域与之相符)……………10分(Ⅱ)解:由π(0,)2x,得ππ7π2666x,………………11分所以1πsin(2)126x≤,所以当π(0,)2x时,3()(0,]2fx,即函数()fx在区间π(0,)2的值域为3(0,]2.………………13分16.(本小题满分13分)(Ⅰ)证明:因为432nnaS,○1所以当1n时,11432aS,解得12a;…………………2分当2n≥时,11432nnaS,○2…………………3分由○1—○2,得11443()0nnnnaaSS,所以14nnaa,由12a,得0na,所以14nnaa,其中2n≥.故{}na是首项为2,公比为4的等比数列.…………………6分(Ⅱ)解:由(Ⅰ),得124nna.…………………8分所以114442nnnbann.则{}nb的前n项和011(44)(48)(44)nnTn011(444)(484)nn………………10分14(44)142nnn241223nnn.………………13分17.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为在折起前的矩形ABCD中,,EF分别为,BCDA的中点,所以EFFD,EFFA,又因为FDFAF,所以EF平面DFA.………………2分又因为DG平面DFA,所以EFDG.………………4分(Ⅱ)证明:因为在折起前的矩形ABCD中,,EF分别为,BCDA的中点,所以在立体图中,////ABEFCD.即在立体图中,四边形ABCD为平行四边形.连接AC,设ACBDO,则AOCO.………………6分又因为//CF平面BDG,CF平面ACF,平面ACF平面BDGOG,所以//CFOG,所以在ACF中,OG为中位线,即G为线段AF的中点.………………9分(Ⅲ)解:因为G为线段AF的中点,60DFA所以DFA为等边三角形,且DGFA,又因为EFDG,EFFAF,所以DG平面ABEF.设BE的中点为H,连接,GHCH,易得四边形DGHC为平行四边形,所以CH平面ABEF,所以222CGGHCH.………………11分设DFx,由题意得32CHDGx,42GHCDx,所以2222319(42)()161624CGxxxx,………………13分所以当3219x时,2min4819CG.所以线段CG长度的最小值为45719.………………14分18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:0.03a.………………3分(Ⅱ)解:由分层抽样,知抽取的初中生有60名,高中生有40名.………………4分因为初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25,所以所有的初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450人,………………6分同理,高中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35,学生人数约有0.351200420人.所以该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870人.………………8分FEGABDCCCOH(Ⅲ)解:记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,至少抽到1名高中生”为事件A,………………9分初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05,样本人数为0.05603人.高中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05,样本人数为0.05402人.………………10分记这3名初中生为123,,AAA,这2名高中生为12,BB,则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,所有可能结果有10种,即:12(,)AA,13(,)AA,11(,)AB,12(,)AB,23(,)AA,21(,)AB,22(,)AB,31(,)AB,32(,)AB,12(,)BB,而事件A的结果有7种,它们是11(,)AB,12(,)AB,21(,)AB,22(,)AB,31(,)AB,32(,)AB,12(,)BB,所以7()10PA.………………13分19.(本小题满分13分)(Ⅰ)证明:函数()yfx的定义域{|}DxxxaR且,由题意,()fa有意义,所以0a.求导,得244()()2()()(3)()()()xaxaxaxaxafxxaxa.………………3分所以24241()1164afaaa,解得12a.………………5分(Ⅱ)解:“对于定义域内的任意1x,总存在2x使得21()()fxfx”等价于“()fx不存在最小值”.………………6分①当0a时,由1()fxx,得()fx无最小值,符合题意.………………8分②当0a时,令4()(3)()0()xaxafxxa,得xa或3xa.………………9分随着x的变化时,()fx与()fx的变化情况如下表:x(,3)a3a(3,)aaa(,)a()fx0不存在()fx↘极小↗不存在↘………………11分所以函数()fx的单调递减区间为(,3)a,(,)a,单调递增区间为(3,)aa.因为当xa