北京市西城区2016届高三数学二模考试试题-理

北京市西城区2016年高三二模试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设全集UR，集合2{|0}Axx，{|1}Bxx，则集合()UABð（）（A）(,0)（B）(,0]（C）(2,)（D）[2,)2.若复数z满足+i23izz，则在复平面内z对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若1sin()3AB，3a，4c，则sinA（）（A）23（B）14（C）34（D）164.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）（A）2（B）5（C）3（D）222正（主）视图侧（左）视图俯视图1125.“,,,abcd成等差数列”是“adbc+=+”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费()fx(元)满足关系,0,()(),.CxAfxCBxAxA≤ìïï=íï+-ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）（A）11.5元（B）11元（C）10.5元（D）10元7.如图，点A，B在函数2log2yx=+的图象上，点C在函数2logyx=的图象上，若ABCD为等边三角形，且直线//BCy轴，设点A的坐标为(,)mn，则m=（）（A）2（B）3（C）2（D）38.设直线l：340xya++=，圆22(2)2Cxy：-+=，若在圆C上存在两点,PQ，在直线l上存在一点M，使得90PMQ?o，则a的取值范围是（）（A）[18,6]-（B）[652,652]-+（C）[16,4]-（D）[652,652]---+第Ⅱ卷（非选择题共110分）yOxBACEAFDCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.在62()xx的展开式中，常数项等于____.10.设x，y满足约束条件2,1,10,yxxyy≤≤≥则3zxy的最大值是____.11.执行如图所示的程序框图，输出的S值为______.12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为22yx，则其离心率为____；若点(4,2)在C上，则双曲线C的方程为____.13.如图,△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且//BDAC.过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若4ABAC，5BD，则AFFD_____；AE_____.14.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片.那么在这10部微电影中，最多可能有____部优秀影片.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．输出S否是2,1iS开始11iSSi1ii21ii10i结束15．（本小题满分13分）已知函数2()(13tan)cosfxxx.（Ⅰ）若是第二象限角，且6sin3，求()f的值；（Ⅱ）求函数()fx的定义域和值域.16．（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）O时间(小时)10203040500.0050.0250.030频率组距0.035高中生组O时间(小时)10203040500.005a频率组距初中生组0.0200.040如图，正方形ABCD的边长为4，,EF分别为,BCDA的中点.将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得60DFA.设G为AF的中点.（Ⅰ）求证：DGEF；（Ⅱ）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（Ⅲ）设,PQ分别为线段,DGCF上一点，且//PQ平面ABEF，求线段PQ长度的最小值.18．（本小题满分13分）设aR，函数2()()xafxxa．（Ⅰ）若函数()fx在(0,(0))f处的切线与直线32yx平行，求a的值；（Ⅱ）若对于定义域内的任意1x，总存在2x使得21()()fxfx，求a的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C：)0(12222babyax的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点)0)(,0(mmB的直线l与椭圆C相交于,EF两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围.20．（本小题满分13分）ABFEDCCFEGABDCC已知任意的正整数n都可唯一表示为1100112222kkkknaaaa，其中01a，12,,,{0,1}kaaa，kN．对于nN，数列{}nb满足：当01,,,kaaa中有偶数个1时，0nb；否则1nb．如数5可以唯一表示为2105120212，则50b．（Ⅰ）写出数列{}nb的前8项；（Ⅱ）求证：数列{}nb中连续为1的项不超过2项；（Ⅲ）记数列{}nb的前n项和为nS，求满足1026nS的所有n的值．（结论不要求证明）北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．A3．B4．C5．A6．A7．D8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．16010．7311．52712．6222184xy13．45614．10注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为是第二象限角，且6sin3，所以23cos1sin3.………………2分所以sintan2cos，………………4分所以2316()(132)()33f.………………6分（Ⅱ）解：函数()fx的定义域为{|xxR，且ππ,}2xkkZ.………………8分化简，得2()(13tan)cosfxxx2sin(13)coscosxxx2cos3sincosxxx1cos23sin222xx………………10分π1sin(2)62x，………………12分因为xR，且ππ2xk，kZ，所以π7π22π66xk，所以1π1sin(2)6x≤≤.所以函数()fx的值域为13[,]22.………………13分（注：或许有人会认为“因为ππ2xk，所以()0fx”，其实不然，因为π()06f.）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a.………………3分（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.………………4分因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450人，………………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35，学生人数约有0.351200420人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870人.………………8分（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05，样本人数为0.05603人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.00510)402人.故X的可能取值为1，2，3.………………9分则123235CC3(1)C10PX，213235CC3(2)C5PX，3335C1(3)C10PX.所以X的分布列为：X123P31035110………………12分所以3319()123105105EX.………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为正方形ABCD中，,EF分别为,BCDA的中点，所以EFFD，EFFA，又因为FDFAF，所以EF平面DFA.………………2分又因为DG平面DFA，所以DGEF.………………4分（Ⅱ）解：因为60DFA，DFFA，AGGF，所以DFA为等边三角形，且DGFA.又因为DGEF，EFFAF，所以DG平面ABEF.………………5分设BE的中点为H，连接GH，则,,GAGHGD两两垂直，故以,,GAGHGD分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)G，(1,0,0)A，(1,4,0)B，(0,4,)3C，(1,0,0)F，所以(1,0,0)GA,(1,0,3)BC，(2,4,0)BF.………………6分设平面BCF的一个法向量为(,,)xyzm，由0BCm，0BFm，得30,240,xzxy令2z，得(2,3,2)3m.………………7分设直线GA与平面BCF所成角为，则||257sin|cos,|19||||GAGAGAmmm.即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为25719.………………9分（Ⅲ）由题意，可设(0,0,)(03)Pkk≤≤，(01)FQFC≤≤，由(1,4,3)FC，得(,4,3)FQ，所以(1,4,3)Q，(1,4,3)PQk.………………10分由（Ⅱ），得(0,0,3)GD为平面ABEF的法向量.HyFEABDCCCxzG因为//PQ平面ABEF，所以0GDPQ，即30k.………………11分所以222||(1)(4)(3)PQk222(1)(4)1721=，………………12分又因为221172117()171716，所以当117时，min417||17PQ.所以当117，173k时，线段PQ长度有最小值41717.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()yfx的定义域{|}DxxxaR且，………………1分由题意，(0)f有意义，所以0a.求导，得244()()2()()(3)()()()xaxaxaxaxafxxaxa.………………3分由题意，得243(0)3afa，解得1a.验证知1a符合题意.………………5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x，总存在2x使得21()()fxfx”等价于“()fx不存在最小值”．………………6分①当0a时，由1()fxx，得()fx无最小值，符合题意．………………7分②当0a时，令4()(3)()0()xaxafxxa，得xa或3xa.………………8分随着x的变化时，()fx与()fx的变化情况如下：x(,)aa(,3)aa3a(3,)a()fx不存在0()fx↘不存