[标准模拟]2018年全国新课标2理科数学模拟试卷

2018年全国新课标2理科数学模拟试卷一、选择题1．设集合M＝{x|－1≤x2}，N＝{x|x－k≤0}，若M⊆N，则k的取值范围是()A．k≤2B．k≥－1C．k－1D．k≥22．下列说法错误的是()A．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”B．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题C．若命题p：∃x0∈R，x20－x0＋10，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1≥0D．“sinθ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件3．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝(110)x在x∈[0,4]上解的个数是()A．1B．2C．3D．44．已知等比数列{an}满足a4＋a8＝2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为()A．4B．6C．8D．105．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A－sin2B＝3sinBsinC，c＝23b，则角A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°6．定义d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)．则()A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是()①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝tanx；⑤f(x)＝1x.A．①③⑤B．③④C．②③④D．②⑤8．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝1fx＋，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.若g(x)＝f(x)－mx－2m在区间(－1,1]上有两个零点，则实数m的取值范围是()A．0m≤13B．0m13C.13m1D.13≤m19．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列结论中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β10．设F1，F2分别为椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2a21－y2b21＝1(a10，b10)的公共左，右焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆C1的离心率e∈34，32，则双曲线C2的离心率e1的取值范围是()A.62，322B.1，62C.322，＋∞D.322，411．若曲线y＝x2上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，x≥m，则实数m的取值范围是()A．[－2,1]B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，1]12．已知x∈0，π2，且函数f(x)＝1＋2sin2xsin2x的最小值为m，若函数g(x)＝－1π4xπ2，8x2－6mx＋40x≤π4，则不等式g(x)≤1的解集为()A.π4，π2B.π4，32C.34，32D.34，π2二、填空题13．已知函数f(x)＝log21－x1＋x，若f(a)＝12，则f(－a)＝________.14．数列{an}满足a1＝1，a2ka2k－1＝2，a2k＋1a2k＝3(k≥1)，则其前100项和S100的值为________．(填写式子)15．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足AE→＝2ED→，DF→＝FC→，则AF→·BE→＝________.16．如图所示，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：①若－2≤x≤2，则函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；④函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)三、解答题17．已知函数f(x)＝3sinωxcosωx－cos2ωx＋12(ω0)，经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x①2π35π3f(x)010－10(1)请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间－π2，π3上的值域；(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f(A＋π3)＝1，b＋c＝4，a＝7，求△ABC的面积．18．(2016·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N.(1)证明：MN⊥平面ADD1A1；(2)求二面角A－A1M－N的余弦值．19．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0.且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意自然数n均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2016的值．20.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左，右焦点分别为F1，F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且kOD·kAB＝－12，△AOB的面积为22.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为163，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．(2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．22．(2016·山西四校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－2y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得EA→2＋EA→·AB→为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．答案精析1．D[根据题意，将集合M画在数轴上可知，若满足M⊆N，则必有k≥2.]2．D[当θ＝30°时，有sinθ＝12，反之，当sinθ＝12时，不一定有θ＝30°，所以“sinθ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．]3．D4．A[由题意知a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a6a6＋a10a6，∵a4＋a8＝2，∴a6a2＋2a6a6＋a10a6＝(a4＋a8)2＝4.]5．A[由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，及sin2A－sin2B＝3sinBsinC，可得a2－b2＝3bc.又c＝23b，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－3b·23b－b22b·23b＝32，所以A＝30°.]6．C[如图所示，∵|b|＝1，∴b的终点在单位圆上．设点B在单位圆上．点A不在单位圆上，则可用OB→表示b，用OA→表示a，用BA→表示a－b.设OC→＝tb，∴d(a，tb)＝|CA→|，d(a，b)＝|BA→|，∵对任意t∈R，d(a，tb)≥d(a，b)，∴|CA→|≥|BA→|恒成立，∴BA→⊥OB→，即b⊥(a－b)．]7．A[①若f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，这个方程显然有解，故①符合要求；②若f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，此方程无解，故②不符合要求；③若f(x)＝f′(x)，则lnx＝1x，数形结合可知，这个方程存在实数解，故③符合要求；④中，f′(x)＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x，若f(x)＝f′(x)，则1cos2x＝tanx，化简得sinxcosx＝1，即sin2x＝2，方程无解，故④不符合要求；⑤中，f′(x)＝－1x2，若f(x)＝f′(x)，则－1x2＝1x，可得x＝－1，故⑤符合要求．]8．A[当－1x0时，0x＋11，由f(x)＋1＝1fx＋，可得f(x)＝1x＋1－1，则y＝f(x)在区间(－1,1]上的图象如图所示．若g(x)＝f(x)－mx－2m在(－1,1]上有两个零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝mx＋2m在(－1,1]上有两个交点．从图象分析可知，直线y＝mx＋2m恒过定点(－2,0)，且与y轴的交点(0,2m)应位于y轴的正半轴，可知m0，即直线y＝mx＋2m的斜率大于0，而此时应使直线y＝mx＋2m上的点(1,3m)位于点(1,1)或其下方，则可得3m≤1，即m≤13.综上所述，0m≤13.]9．B[若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β可能平行，也可能相交，选项A，C错；由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，则α⊥β，选项B正确，选项D错．]10．A[由已知得|MF1|＋|MF2|＝2a，|MF1|－|MF2|＝2a1，所以|MF1|＝a＋a1，|MF2|＝a－a1，又因为∠F1MF2＝90°，所以|MF1|2＋|MF2|2＝4c2，即(a＋a1)2＋(a－a1)2＝4c2，即a2＋a21＝2c2，所以1e2＋1e21＝2，所以e21＝12－1e2，因为e∈[34，32]，所以916≤e2≤34，即43≤1e2≤169，29≤2－1e2≤23，所以32≤e21≤92，所以e1∈62，322.]11．D[作出不等式组表示的平面区域(如图)，作出抛物线y＝x2，解方程组x＋y－2＝0，y＝x2，得x＝1，y＝1或x＝－2，y＝4，即直线x＋y－2＝0与抛物线y＝x2的交点坐标为(1,1)和(－2,4)．若曲线y＝x2上存在点(x，y)在平面区域内，则m≤1.]12．D[∵x∈0，π2，∴tanx0，∴f(x)＝1＋2sin2xsin2x＝123tanx＋1tanx≥3tanx·1tanx＝3，当且仅当tanx＝33，即x＝π6时取等号，因此m＝3.不等式g(x)≤1⇔①π4xπ2或②0x≤π4，8x2－63x＋4≤1，解②得34≤x≤π4.因此，不等式g(x)≤1的解集为34，π4∪π4，π2＝34，π2.]13．－12解析由已知得，函数的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝log21－(－x)1＋(－x)＝－log21－x1＋x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－12.14.35×(650－1)解析由a2ka2k－1＝2，a2k＋1a2k＝3，得a2k＋1a2k－1＝6，所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公比为6的等比数列．由a2ka2k－1＝2，得a2k＋2a2k＋1＝2，结合a2k＋1a2k＝3，得a2k＋2a2k＝6.又a2＝2，所以数列{an}的偶数项构成首项为2，公比为6的等比数列，所以S100＝1×(1－650)1－6＋2×(1－650)1－6＝35×(650－1)．15．－6解析依题意得AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12AB→，BE→＝AE→－AB→＝23AD→－AB→，AF→·BE→＝(AD→＋12AB→)·(23AD→－AB→)＝23AD→2－12AB→2－23AD→·AB→＝23×32－12×42－23×3×4cos60°＝－6.16．①②④解析当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的14圆，当－1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为2的14圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的14圆，当2≤x≤3时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的14圆，∴函数的周期是4