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第12讲带电粒子在组合场、复合场中的运动12341.(2019全国卷Ⅲ)如图,在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q0)的粒子垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为()12A.56π𝑚𝑞𝐵B.76π𝑚𝑞𝐵C.116π𝑚𝑞𝐵D.136π𝑚𝑞𝐵1234解析:粒子在磁场中做匀速圆周运动,其运动轨迹如图所示。根据半径公式r=𝑚𝑣𝑞𝐵可求得r2=2r1由几何关系得r2cosθ=r2-r1,求得θ=60°=π3粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间t=𝛼𝑚𝑞𝐵在第二象限中运动的时间t1=π𝑚2𝑞𝐵在第一象限中运动的时间t2=π𝑚3𝑞𝐵2=2π𝑚3𝑞𝐵故粒子在磁场中运动的时间为t=t1+t2=7π𝑚6𝑞𝐵故选B。答案:B12342.(2017全国卷Ⅰ)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里。三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是()A.mambmcB.mbmamcC.mcmambD.mcmbma解析:a做匀速圆周运动,则qE=mag,故ma=𝑞𝐸𝑔;b向右做匀速直线运动,则qE+qvB=mbg,故mb=𝑞𝐸+𝑞𝑣𝐵𝑔;c向左做匀速直线运动,则qE=qvB+mcg,故mc=𝑞𝐸-𝑞𝑣𝐵𝑔。综上mbmamc,选B。答案:B12343.(2019全国卷Ⅰ)如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求(1)带电粒子的比荷;(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。1234解析:(1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,加速后的速度大小为v。由动能定理有qU=12mv2①设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有qvB=m𝑣2𝑟②由几何关系知d=2r③联立①②③式得𝑞𝑚=4𝑈𝐵2𝑑2④(2)由几何关系知,带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s=π𝑟2+rtan30°⑤带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t=𝑠𝑣⑥联立②④⑤⑥式得t=𝐵𝑑24𝑈π2+33⑦答案:(1)4𝑈𝐵2𝑑2(2)𝐵𝑑24𝑈π2+3312344.(2018全国卷Ⅲ)如图,从离子源产生的甲、乙两种离子,由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动,自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1,并在磁场边界的N点射出;乙种离子在MN的中点射出;MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求(1)磁场的磁感应强度大小;(2)甲、乙两种离子的比荷之比。1234解析:(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1,在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1,磁场的磁感应强度大小为B,由动能定理有q1U=12m1𝑣12①由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B=m1𝑣12𝑅1②由几何关系知2R1=l③由①②③式得B=4𝑈𝑙𝑣1④1234(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2,射入磁场的速度为v2,在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有q2U=12m2𝑣22⑤q2v2B=m2𝑣22𝑅2⑥由题给条件有2R2=𝑙2⑦由①②③⑤⑥⑦式得,甲、乙两种离子的比荷之比为𝑞1𝑚1∶𝑞2𝑚2=1∶4⑧答案:(1)4𝑈𝑙𝑣1(2)1∶4考点1考点2考点3带电粒子在组合场中的运动例1(2018全国卷Ⅰ)如图,在y0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场,电场强度大小为E;在y0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核11H和一个氘核12H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出,速度方向沿x轴正方向。已知11H进入磁场时,速度方向与x轴正方向的夹角为60°,并从坐标原点O处第一次射出磁场,11H的质量为m,电荷量为q,不计重力。求(1)11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离;(2)磁场的磁感应强度大小;(3)12H第一次离开磁场的位置到原点O的距离。考点1考点2考点3审题两种带电粒子均在匀强电场中做类平抛运动、在匀强磁场中做匀速圆周运动。氘核的2倍,且二者电荷量相等,根据二者的初动能相等可求类平抛运动初速度的关系;再根据类平抛运动的规律可求粒子进入磁场的位置以及进入磁场的速度大小和方向;最后根据粒子在洛伦兹力的作用下在磁场中做匀速圆周运动规律和相关几何知识可求粒子第一次离开磁场的位置。12H质量是氕核11H考点1考点2考点3解析:(1)11H在电场中做类平抛运动,在磁场中做圆周运动,运动轨迹如图所示。设11H在电场中的加速度大小为a1,初速度大小为v1,它在电场中的运动时间为t1,第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1。由运动学公式有s1=v1t1①h=12a1𝑡12②由题给条件,11H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ1=60°。11H进入磁场时速度的y分量的大小为a1t1=v1tanθ1③联立以上各式得s1=233h④考点1考点2考点3(2)11H在电场中运动时,由牛顿第二定律有qE=ma1⑤设11H进入磁场时速度的大小为v1'v1'=𝑣12+(𝑎1𝑡1)2⑥设磁感应强度大小为B,11H在磁场中运动的圆轨道半径为R1,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qv1'B=𝑚𝑣1'2𝑅1⑦由几何关系得s1=2R1sinθ1⑧联立以上各式得B=6𝑚𝐸𝑞ℎ⑨考点1考点2考点3(3)设12H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2,在电场中的加速度大小为a2,由题给条件得12(2m)𝑣22=12𝑚𝑣12⑩由牛顿第二定律有qE=2ma2设12H第一次射入磁场时的速度大小为v2',速度的方向与x轴正方向夹角为θ2,入射点到原点的距离为s2,在电场中运动的时间为t2。由运动学公式有s2=v2t2h=12a2𝑡22v2'=𝑣22+(𝑎2𝑡2)2sinθ2=𝑎2𝑡2𝑣2'考点1考点2考点3联立以上各式得s2=s1,θ2=θ1,v2'=22v1'设12H在磁场中做圆周运动的半径为R2,由⑦式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得R2=(2𝑚)𝑣2'𝑞𝐵=2R1所以出射点在原点左侧。设12H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s2',由几何关系有s2'=2R2sinθ2联立④⑧式得,12H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为s2'-s2=233(2-1)h答案:(1)233h(2)6𝑚𝐸𝑞ℎ(3)233(2-1)h考点1考点2考点3方法归纳带电粒子在组合场中运动的分析思路带电粒子在电场和磁场的组合场中运动,实际上是将粒子在电场中的加速与偏转,与在磁场中偏转两种运动有效组合在一起,有效区别电偏转和磁偏转,寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键。当带电粒子连续通过几个不同的场区时,粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化,其运动过程则由几种不同的运动阶段组成。具体思维流程如下图所示。考点1考点2考点3对应训练1.(2019山东济宁实验中学检测)如图所示,直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场,在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子,在x轴上的a点以速度v0与x轴负方向成60°角射入磁场,从y=L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场,并经过x轴上x=2L处的c点。不计粒子重力。求:(1)磁感应强度B的大小;(2)电场强度E的大小;(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。考点1考点2考点3解析:(1)带电粒子在磁场中运动轨迹如图,由几何关系可知:r+rcos60°=L,r=2𝐿3又因为qv0B=m𝑣02𝑟解得:B=3𝑚𝑣02𝑞𝐿。(2)带电粒子在电场中运动时,沿x轴有:2L=v0t2沿y轴有:L=12𝑎𝑡22,又因为qE=ma解得:E=𝑚𝑣022𝑞𝐿。(3)带电粒子在磁场中运动时间为:t1=13·2π𝑟𝑣0=4π𝐿9𝑣0带电粒子在电场中运动时间为:t2=2𝐿𝑣0所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为:𝑡1𝑡2=2π9。答案:(1)3𝑚𝑣02𝑞𝐿(2)𝑚𝑣022𝑞𝐿(3)2π9考点1考点2考点3带电粒子在复合场中的运动例2(2019广西桂林调研)如图所示,质量为m,带电荷量为+q的液滴,以速度v沿与水平方向成θ=45°角斜向上进入正交的足够大匀强电场和匀强磁场叠加区域,电场强度方向水平向右,磁场方向垂直纸面向里,液滴在场区做直线运动。重力加速度为g,试求:(1)电场强度E和磁感应强度B各多大?(2)当液滴运动到某一点A时,电场方向突然变为竖直向上,大小不改变,不考虑因电场变化而产生的磁场的影响,此时液滴加速度多少?(3)在满足(2)的前提下,液滴从A点到达与A点位于同一水平线上的B点(图中未画出)所用的时间。考点1考点2考点3解析:(1)液滴带正电,液滴受力如图所示,根据平衡条件有Eq=mgtanθ=mg,qvB=𝑚𝑔cos𝜃=2mg解得:E=𝑚𝑔𝑞,B=2𝑚𝑔𝑞𝑣。(2)电场方向突然变为竖直向上,大小不改变,故电场力与重力平衡,洛伦兹力提供向心力,粒子做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有a=𝐹合𝑚=2g。(3)电场变为竖直向上后,qE=mg,故液滴做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得qvB=m𝑣2𝑟解得:r=𝑚𝑣𝑞𝐵则T=2π𝑟𝑣=2π𝑚𝑞𝐵由几何知识得t=34T解得:t=32π𝑣4𝑔考点1考点2考点3答案:(1)𝑚𝑔𝑞2𝑚𝑔𝑞𝑣(2)2g(3)32π𝑣4𝑔方法归纳解答带电粒子在复合场中的运动问题的两点技巧(1)带电粒子在重力场、电场和磁场的叠加场中做直线运动,重力、电场力和洛伦兹力一定相互平衡,因此可利用平衡条件解题。(2)带电粒子在重力场、电场和磁场的叠加场中做匀速圆周运动时,带电粒子的电场力和重力一定相互平衡,只有洛伦兹力提供向心力。考点1考点2考点3对应训练2.(2019山东郓城高三模拟)如图所示,ABCD矩形区域内存在互相垂直的有界匀强电场和匀强磁场的叠加场。有一质量为m、带电荷量大小为q的小球在光滑绝缘的水平面上,从静止开始经电压为U的电场加速后,水平进入ABCD区域中,恰能在此空间的竖直面内做匀速圆周运动,且从B点射出,已知AB长度为L,AD长度为L,求:(1)小球带何种电荷及进入叠加场时的速度大小;(2)小球在叠加场中做圆周运动的轨迹半径;(3)小球在叠加场中运动的时间。3考点1考点2考点3解析:(1)小球在电场、磁场和重力场的叠加场中做匀速圆周运动,且从B点射出,根据左手定则可知小球带负电荷。(2)设小球做圆周运动的轨迹半径为r,由几何关系得:解得:r=2L。小球进入叠加场之前,由动能定理得:qU=12mv2,解得:v=2𝑞𝑈𝑚。r2=(r-L)2+(3L)2,考点1考点2考点3(3)由(2)知小球在叠加场中做圆周运动对应的圆心角满足:sinθ=3𝐿𝑟,解得:θ=π3小球运动周期:T=2π𝑟𝑣运动时间为:t=𝜃2πT联立解得:t=π𝐿32𝑚𝑞𝑈答案:(1)负电荷2𝑞𝑈𝑚(2)2L(3)π𝐿32𝑚𝑞𝑈考点1考点2考点33.如图,光滑水平桌面上有一个矩形区域abcd,bc长度为2L,cd长度为1.5L,e、f分别为ad、bc的