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第11讲磁场的性质及带电粒子在磁场中的运动123451.(2019全国卷Ⅰ)如图,等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成,固定于匀强磁场中,线框平面与磁感应强度方向垂直,线框顶点M、N与直流电源两端相接。已知导体棒MN受到的安培力大小为F,则线框LMN受到的安培力的大小为()A.2FB.1.5FC.0.5FD.0解析:导体棒MN受到的安培力为F=BIL。根据串、并联电路的特点可知,导体棒ML与LN的电阻之和是导体棒MN电阻的2倍,导体棒MN的电流是导体棒ML与LN电流的2倍,导体棒处在同一磁场中,导体棒ML与LN的有效长度与导体棒MN相同,导体棒ML与LN受到安培力的合力为0.5F。根据左手定则,导体棒ML与LN受到安培力的合力方向与导体棒MN受到的安培力方向相同,线框LMN受到安培力的合力为1.5F,故选B。答案:B123452.(多选)(2018全国卷Ⅱ)如图,纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2,L1中的电流方向向左,L2中的电流方向向上;L1的正上方有a、b两点,它们相对于L2对称。整个系统处于匀强外磁场中,外磁场的磁感应强度大小为B0,方向垂直于纸面向外。已知a、b两点的磁感应强度大小分别为,方向也垂直于纸面向外。则()A.流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为712B0B.流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为112B0C.流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为112B0D.流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为712B013B0和12B012345解析:设L1在a、b点产生的磁感应强度分别为B1a、B1b,L2在a、b点产生的磁感应强度分别为B2a、B2b,根据安培定则可知,B1a=B1b,方向均垂直纸面向里;B2a=B2b,B2a方向垂直纸面向里,B2b方向垂直纸面向外;根据题意,对a点有,B1a+B2a-B0=-𝐵03。对b点有,B1b-B2b-B0=-𝐵02,联立以上方程解得B1a=B1b=7𝐵012,B2a=B2b=𝐵012,选项A、C正确。答案:AC123453.(多选)(2017全国卷Ⅱ)某同学自制的简易电动机示意图如图所示。矩形线圈由一根漆包线绕制而成,漆包线的两端分别从线圈的一组对边的中间位置引出,并作为线圈的转轴。将线圈架在两个金属支架之间,线圈平面位于竖直面内,永磁铁置于线圈下方。为了使电池与两金属支架连接后线圈能连续转动起来,该同学应将()A.左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉B.左、右转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉C.左转轴上侧的绝缘漆刮掉,右转轴下侧的绝缘漆刮掉D.左转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉,右转轴下侧的绝缘漆刮掉12345解析:由于矩形线圈是由一根漆包线绕制而成,电流在环形线圈中通过,把左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉或者把左转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉、右转轴下侧的绝缘漆刮掉,这样在半个周期内受到安培力作用而转动,在另半个周期内靠惯性转动,故选项A、D做法可行;把左、右转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉,这样在半个周期内安培力是动力,另半个周期内安培力是阻力,阻碍线圈的转动,故选项B做法不可行;把左转轴上侧的绝缘漆刮掉,右转轴下侧的绝缘漆刮掉,线圈中没有电流,线圈不受安培力作用,不能转动,故选项C做法不可行。答案:AD123454.(2019全国卷Ⅱ)如图,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k,则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为()A.14kBl,54kBlB.14kBl,54kBlC.12kBl,54kBlD.12kBl,54kBl12345解析:本题考查带电粒子在有界磁场中的运动。当电子从a点射出时,电子在磁场中运动的半径为ra=14l,而Bqva=m𝑣𝑎2𝑟𝑎,即va=𝐵𝑞𝑟𝑎𝑚=14kBl;当电子从d点射出时,电子在磁场中运动的半径为rd,如图,根据几何关系得𝑟𝑑2=l2+(rd-𝑙2)2,解得rd=54l,所以,vd=54kBl,B正确,A、C、D错误。答案:B123455.(2017全国卷Ⅱ)如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1D.3∶2答案:C考点1考点2考点3考点4安培力作用下的平衡问题例1(多选)(2017全国卷Ⅰ)如图,三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3两两等距,均通有电流I,L1中电流方向与L2中的相同,与L3中的相反,下列说法正确的是()A.L1所受磁场作用力的方向与L2、L3所在平面垂直B.L3所受磁场作用力的方向与L1、L2所在平面垂直C.L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1∶1∶3D.L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为3∶3∶1考点1考点2考点3考点4解析:利用同向电流相互吸引,异向电流相互排斥,受力分析如图。设任意两导线间作用力大小为F,则L1受合力F1=2Fcos60°=F,方向与L2、L3所在平面平行;L2受合力F2=2Fcos60°=F,方向与L1、L3所在平面平行;L3所受合力F3=2Fcos30°=F,方向与L1、L2所在平面垂直。故选B、C。答案:BC3考点1考点2考点3考点4方法归纳使用公式F=BIL计算安培力大小时的两点注意(1)安培力大小常用公式F=BIL计算,要求两两垂直,特别要注意B与L垂直;(2)L是有效长度,即垂直磁感应强度方向的长度。如弯曲导线的有效长度L等于两端点所连直线的长度(如图所示),相应的电流方向沿L由始端流向末端。因为任意形状的闭合线圈,其有效长度为零,所以闭合线圈通电后在匀强磁场中,受到的安培力的矢量和为零。考点1考点2考点3考点4对应训练1.(2019广东广州模拟)如图所示,两平行光滑金属导轨CD、EF间距为L,与电动势为E0的电源相连,质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置构成闭合回路,回路平面与水平面成θ角,回路其余电阻不计。为使ab棒静止,需在空间施加的匀强磁场磁感应强度的最小值及其方向分别为()A.𝑚𝑔𝑅𝐸0𝐿,水平向右B.𝑚𝑔𝑅cos𝜃𝐸0𝐿,垂直于回路平面向上C.𝑚𝑔𝑅tan𝜃𝐸0𝐿,竖直向下D.𝑚𝑔𝑅sin𝜃𝐸0𝐿,垂直于回路平面向下考点1考点2考点3考点4解析:对金属棒受力分析,受重力、支持力和安培力,如图所示。从图可以看出,当安培力沿斜面向上时,安培力最小,故安培力的最小值为:FA=mgsinθ,故磁感应强度的最小值为B=𝐹A𝐼𝐿=𝑚𝑔sin𝜃𝐼𝐿,根据欧姆定律,有E0=IR,故B=𝑚𝑔𝑅sin𝜃𝐸0𝐿,故只有选项D正确。答案:D考点1考点2考点3考点4考点5带电粒子在有界磁场中的运动例2(2019安徽马鞍山模拟)如图所示,abcd为一正方形边界的匀强磁场区域,磁场边界边长为L,磁场方向垂直边界平面向里。三个粒子以相同的速度从a点沿ac方向射入,粒子1从b点射出,粒子2从c点射出,粒子3从cd边垂直于磁场边界射出,不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。根据以上信息,可以确定()A.粒子1带负电,粒子2不带电,粒子3带正电B.粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1C.粒子1和粒子3在磁场中运动时间之比为4∶1D.粒子3的射出位置与d点相距𝐿2考点1考点2考点3考点4考点5解析:根据左手定则可知,粒子1带正电,粒子2不带电,粒子3带负电,选项A错误;由几何关系知,粒子1在磁场中的轨迹为四分之一圆周,半径r1=Lsin45°=22L,在磁场中运动时间t1=14T=14·2π𝑟1𝑣=2π𝐿4𝑣,粒子3在磁场中的轨迹为八分之一圆周,半径r3=𝐿sin45°=2L,在磁场中运动时间t3=18T=18·2π𝑟3𝑣=2π𝐿4𝑣,则t1=t3,选项C错误;由r1∶r3=1∶2及r=𝑚𝑣𝑞𝐵可知粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1,选项B正确;粒子3的射出位置与d点相距(2-1)L,选项D错误。答案:B考点1考点2考点3考点4考点5方法归纳解答带电粒子在有界磁场中的运动问题的三步骤无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动,解题时要抓住三个步骤:考点1考点2考点3考点4考点5对应训练2.(2019山东滕州模拟)如图所示,匀强磁场的边界为直角三角形abc,一束带正电的相同粒子以不同的速度v沿bc方向从b点射入磁场,不计粒子的重力。关于粒子在磁场中的运动情况,下列说法正确的是()A.入射速度越大的粒子,在磁场中的运动时间越长B.入射速度越大的粒子,在磁场中的运动轨迹越长C.从ab边射出的粒子在磁场中的运动时间都相等D.从ac边射出的粒子在磁场中的运动时间都相等考点1考点2考点3考点4考点5解析:带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动,轨迹半径r=𝑚𝑣𝑞𝐵,速度越大,半径越大,从ac边出射的粒子,速度越大,运动轨迹越短,对应的圆心角θ越小,根据t=𝜃2πT和T=2π𝑚𝑞𝐵可知,粒子在磁场中的运动时间越短,选项A、B、D错误;从ab边出射的粒子速度的偏向角都相同,而粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角等于速度的偏向角,由t=𝜃2πT可知,粒子在磁场中的运动时间相等,选项C正确。答案:C考点1考点2考点3考点4考点5带电粒子在有界磁场中的临界极值问题例3(多选)如图所示,竖直平行边界MN、PQ间距离为a,其间存在垂直纸面向里的匀强磁场(含边界PQ),磁感应强度为B,MN上O处的粒子源能沿不同方向释放比荷为的带负电粒子,速度大小相等、方向均垂直于磁场。粒子间的相互作用及重力不计,设粒子入射方向与射线OM夹角为θ,当粒子沿θ=60°射入时,恰好垂直于PQ射出,则()𝑞𝑚A.从PQ垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为π𝑚6𝑞𝐵B.沿θ=90°射入的粒子,在磁场中运动的时间最长C.粒子的速率为𝑎𝑞𝐵𝑚D.PQ上有粒子射出的范围长度为23a考点1考点2考点3考点4考点5解析:带电粒子在磁场中做圆周运动,有qvB=m𝑣2𝑅,所以v=𝑅𝑞𝐵𝑚,粒子沿θ=60°射入时,恰好垂直于PQ射出,则粒子在磁场中转过30°,如图甲所示,所以有Rsin30°=a,解得R=2a,故v=2𝑎𝑞𝐵𝑚,选项C错误;t=30°360°·2π𝑅𝑣=π𝑚6𝑞𝐵,选项A正确;θ=0时,粒子离开磁场的位置在PQ上O'点上方3a处,如图乙所示。当θ增大时,粒子在PQ上离开磁场的位置下移,直到粒子运动轨迹与PQ相切时,θ=120°,切点在O'下方3a处,如图丙所示,所以PQ上有粒子射出的范围长度为23a,选项D正确;粒子在磁场中运动的轨迹越长,时间越长,所以,沿θ=120°射入的粒子,在磁场中运动的时间最长,选项B错误。答案:AD考点1考点2考点3考点4考点5方法归纳解答带电粒子在有界磁场中的临界极值问题的方法技巧找突破口许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律,找出临界条件两种思路一是以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解二是直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值两种方法物理方法(1)利用临界条件求极值;(2)利用边界条件求极值;(3)利用矢量图求极值数学方法(1)用三角函数求极值;(2)用二次方程的判别式求极值;(3)用不等式的性质求极值;(4)图象法等考点1考点2考点3考点4考点5四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切