搜索
1.7复数-2-高考命题规律1.高考必考考题.选择题,5分,容易题,一般出现在第1题或第2题.2.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1复数的概念、运算与共轭复数2231122命题角度2复数的运算与复数的模1221命题角度3复数的几何意义122-3-高考真题体验典题演练提能复数的概念、运算与共轭复数1.(2019全国Ⅲ·2)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案:D解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D.2.(2018全国Ⅲ·2)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案:D解析:(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.-4-高考真题体验典题演练提能3.(2017全国Ⅰ·3)设有下面四个命题p1:若复数z满足1𝑧∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=𝑧2;p4:若复数z∈R,则𝑧∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案:B解析:p1:设z=a+bi(a,b∈R),则1𝑧=1𝑎+𝑏i=𝑎-𝑏i𝑎2+𝑏2∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.-5-高考真题体验典题演练提能4.(2019北京·1)已知复数z=2+i,则z·𝑧=()A.3B.5C.3D.5答案:D解析:∵z=2+i,∴𝑧=2-i.∴z·𝑧=(2+i)(2-i)=5.故选D.5.(2017山东·2)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+3i,z·𝑧=4,则a=()A.1或-1B.7或-7C.-3D.3答案:A解析:由z=a+3i,得z·𝑧=|z|2=a2+3=4,所以a2=1,a=±1,选A.-6-高考真题体验典题演练提能6.(2016全国Ⅰ·2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2答案:B解析:因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=,故选B.27.(2016全国Ⅲ·2)若z=1+2i,则4i𝑧𝑧-1=()A.1B.-1C.iD.-i答案:C解析:由题意知𝑧=1-2i,则4i𝑧𝑧-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.-7-高考真题体验典题演练提能8.(2019江苏·2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.答案:2解析:∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.-8-高考真题体验典题演练提能1.复数5i-2的共轭复数是()A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i答案:B解析:因为5i-2=5(i+2)(i-2)(i+2)=5(i+2)-5=-2-i,所以其共轭复数为-2+i.2.设i为虚数单位,则复数|1-3i|1+i=()A.-1+iB.-2+2iC.1-iD.2-2i答案:C解析:|1-3i|1+i=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.-9-高考真题体验典题演练提能3.复数12+i+11+2i(其中i为虚数单位)的虚部为()A.35B.35iC.-35D.-35i答案:C解析:因为12+i+11+2i=2-i(2+i)(2-i)+1-2i(1+2i)(1-2i)=2-i+1-2i5=35−35i,∴复数12+i+11+2i的虚部为-35,故选C.4.已知i为虚数单位,(1+i)x=2+yi,其中x,y∈R,则|x+yi|=()A.22B.2C.2D.4答案:A解析:∵(1+i)x=2+yi,其中x,y∈R,x+ix=2+yi,解得x=2,y=2,∴|x+yi|=2,故选A.2-10-高考真题体验典题演练提能5.已知复数z=𝑎2-i+3-4i5的实部与虚部之和为1,则实数a的值为()A.2B.1C.4D.3答案:A解析:z=𝑎2-i+3-4i5=𝑎(2+i)5+3-4i5=(2𝑎+3)+(𝑎-4)i5,∵实部与虚部之和为1,∴2𝑎+35+𝑎-45=1⇒a=2,实数a的值为2,故选A.-11-高考真题体验典题演练提能6.已知复数z满足z(1+i)=2-𝑧,则z2=.答案:-4解析:设z=a+bi(a,b∈R),则𝑧=a-bi.∴(a+bi)(1+i)=2-(a-bi),∴(a-b)+(a+b)i=(2-a)+bi,∴𝑎-𝑏=2-𝑎,𝑎+𝑏=𝑏,∴𝑎=0,𝑏=-2.∴z=-2i,z2=4i2=-4.-12-高考真题体验典题演练提能复数的运算与复数的模1.(2018全国Ⅰ·1)设z=1-i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.2答案:C解析:因为z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.2.(2017全国Ⅲ·2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D.2答案:C解析:由题意,得z=2i1+i=1+i,故|z|=12+12=2.-13-高考真题体验典题演练提能3.(2015全国Ⅰ·1)设复数z满足1+𝑧1-𝑧=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+𝑧1-𝑧=i,∴z=i-1i+1=(i-1)(-i+1)(i+1)(-i+1)=i,∴|z|=1.4.(2019天津·9)i是虚数单位,则5-i1+i的值为.答案:13解析:5-i1+i=(5-i)(1-i)2=4-6i2=2-3i.5-i1+i=4+9=13.-14-高考真题体验典题演练提能1.已知复数z=(1+i)21-i,则|z|=()A.1B.2C.3D.5答案:B解析:∵复数z=(1+i)21-i=2i1-i=2i(1+i)1-i2=-1+i,∴|z|=(-1)2+12=2,故选B.2.已知i为虚数单位,则i2018i-1=()A.1B.22C.2D.12答案:B解析:由题意i2018i-1=i2i-1=12=22,故选B.-15-高考真题体验典题演练提能3.设复数z满足z=|2+i|+2ii,则|z|=()A.3B.10C.9D.10答案:A解析:z=|2+i|+2ii=5+2ii=(5+2i)(-i)i·(-i)=2-5i,|2-5i|=4+5=3.故选A.4.复数z=|(3-i)i|+i2018(i为虚数单位),则|z|=()A.2B.3C.1D.2答案:C解析:z=|1+3i|+i2016+2=2+i2=2-1=1.-16-高考真题体验典题演练提能5.设i为虚数单位,若复数z满足𝑧1-i=i,其中𝑧为复数z的共轭复数,则|z|=()A.1B.2C.22D.2答案:B解析:由题得𝑧=i(1-i)=1+i,∴z=1-i,∴|z|=12+(-1)2=2,故选B.-17-高考真题体验典题演练提能复数的几何意义1.(2017北京·2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)答案:B解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以𝑎+10,1-𝑎0,解得a-1.故选B.-18-高考真题体验典题演练提能2.(2016全国Ⅱ·1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案:A解析:要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足𝑚+30,𝑚-10,解得-3m1,故选A.3.(2016北京·9)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.答案:-1解析:∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.-19-高考真题体验典题演练提能1.已知复数z满足z·(1-2i)=i(i是虚数),则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:∵z·(1-2i)=i,∴z=i1-2i=i(1+2i)(1-2i)(1+2i)=-2+i5=-25+i5,∴复数z对应的点为-25,15,位于第二象限.选B.-20-高考真题体验典题演练提能2.若复数z=1+𝑚i1+i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)答案:A解析:z=1+𝑚i1+i=(1+𝑚i)(1-i)2=1+𝑚2+𝑚-12i,所以1+𝑚20,𝑚-120,∴-1m1,故选A.-21-高考真题体验典题演练提能3.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,eπ3i表示的复数位于复平面中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:由题意可得:eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i,即eπ3i表示的复数位于复平面中的第一象限.-22-高考真题体验典题演练提能4.在复平面内,复数2-3i1+2i+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:设z=x+yi(x,y∈R),则2-3i1+2i+x+yi=2-2i,即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)+x+yi=2-2i.∴-45+x+y-75i=2-2i,∴𝑥-45=2,𝑦-75=-2.∴𝑥=145,𝑦=-35,即z=145−35i.对应点为145,-35,在第四象限,故选D.-23-高考真题体验典题演练提能5.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则𝑧2𝑧1=.答案:-1-2i解析:由题意,根据复数的表示可知z1=i,z2=2-i,所以𝑧2𝑧1=2-ii=(2-i)·(-i)i·(-i)=-1-2i.