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1.6推理与证明-2-高考命题规律1.补充性考题,主要考查合情推理与演绎推理的应用.2.填空题或选择题,5分,中档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1合情推理与演绎推理1695命题角度2直接证明与间接证明-3-合情推理与演绎推理高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙-4-答案:A解析:若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A.-5-2.(2017北京·14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.答案:①6②12-6-解析:设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,则x,y,z都是正整数,且𝑥𝑦,𝑦𝑧,2𝑧𝑥,𝑥,𝑦,𝑧∈N*,即2zxyz,x,y,z∈N*.①教师人数为4,即z=4,8xy4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.②由题意知2zxyz,x,y,z∈N*.当z=1时,2xy1,x,y不存在;当z=2时,4xy2,x,y不存在;当z=3时,6xy3,x=5,y=4,此时该小组人数最少,最小值为5+4+3=12.-7-3.(2016全国Ⅱ·16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.答案:1和3解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.-8-4.(2016山东·12)观察下列等式:sinπ3-2+sin2π3-2=43×1×2;sinπ5-2+sin2π5-2+sin3π5-2+sin4π5-2=43×2×3;sinπ7-2+sin2π7-2+sin3π7-2+…+sin6π7-2=43×3×4;sinπ9-2+sin2π9-2+sin3π9-2+…+sin8π9-2=43×4×5;……照此规律:sinπ2𝑛+1-2+sin2π2𝑛+1-2+sin3π2𝑛+1-2+…+sin2𝑛π2𝑛+1-2=.-9-答案:43n(n+1)解析:由等式可知,等式右边共三个数相乘,第一个数都是43;而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.所以第n个式子等号右边为43n(n+1).-10-典题演练提能·刷高分1.(2019四川成都高三模拟)某校有A,B,C,D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.甲说:“A,B同时获奖.”乙说:“B,D不可能同时获奖.”丙说:“C获奖.”丁说:“A,C至少一件获奖.”如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的,则获奖的作品是()A.作品A与作品BB.作品B与作品CC.作品C与作品DD.作品A与作品D-11-答案:D解析:易知乙,丁预测的是正确的,甲,丙预测的是错误的;丙预测错误,∴C不获奖;丁预测正确,A,C至少一件获奖,∴A获奖;甲预测错误,即A,B不同时获奖,∴B不获奖;∴D获奖.即获奖的作品是作品A与作品D.故选D.-12-2.(2019重庆巴蜀中学高三模拟)某演绎推理的“三段”分解如下:①函数f(x)=lgx是对数函数;②对数函数y=logax(a1)是增函数;③函数f(x)=lgx是增函数,则按照演绎推理的三段论模式,排序正确的是()A.①→②→③B.③→②→①C.②→①→③D.②→③→①答案:C解析:①函数f(x)=lgx是对数函数;②对数函数y=logax(a1)是增函数;③函数f(x)=lgx是增函数,大前提是②,小前提是①,结论是③.故排列的次序应为:②→①→③,故选C.-13-3.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标O,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则标签20172的格点的坐标为()A.(2017,2016)B.(2016,2015)C.(1009,1008)D.(1008,1007)-14-答案:C解析:由图形规律可知,由O(记为第0圈)开始,第n圈的正方形右上角标签为(2n+1)2-1,坐标为(n,n),所以标签为20172的数字是标签为20172-1的右边一格,标签为20172-1的坐标为(1008,1008),所以标签为20172的为(1009,1008),故选C.-15-4.有下列各式:1+12+131,1+12+13+…+1732,1+12+13+…+1152,…,则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为.答案:1+12+13+…+12𝑛+1-1𝑛+12(n∈N*)解析:观察各式左边为1𝑛的和的形式,项数分别为3,7,15,…,∴可猜想第n个式子中左边应有2n+1-1项,不等式右边分别写成22,32,42,…,∴猜想第n个式子中右边应为𝑛+12,按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:1+12+13+…+12𝑛+1-1𝑛+12(n∈N*).-16-5.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是.答案:乙解析:(1)根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小”可得丙是体委;(2)根据“丙的年龄比学委的大,体委比乙年龄小”可得:乙的年龄丙的年龄学习委员的年龄,由此可得,乙不是学习委员,那么乙是班长.-17-6.(2019陕西榆林高三一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-2,3)且法向量为n=(4,-1)的直线(点法式)方程为4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点B(2,3,4)且法向量为m=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为.答案:x+2y-z-4=0解析:类比直线方程的求法,利用空间向量的数量积可得(-1)(x-2)+(-2)(y-3)+1×(z-4)=0,化简得x+2y-z-4=0.故答案为:x+2y-z-4=0.-18-直接证明与间接证明高考真题体验·对方向(2014山东·4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.-19-典题演练提能·刷高分1.设m,n,t都是正数,则m+4𝑛,n+4𝑡,t+4𝑚三个数()A.都大于4B.都小于4C.至少有一个大于4D.至少有一个不小于4答案:D解析:依题意,令m=n=t=2,则三个数为4,4,4,排除A,B,C选项,故选D.-20-2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为()A.自然数a,b,c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a,b,c都是奇数D.自然数a,b,c都是偶数答案:B解析:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”.故选B.-21-3.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中不小于12的否定为|f(1)|与|f(2)|中都小于12,故②的假设错误,故选C.至少有一个不小于12,用反证法证明时可假设|f(1)|≥12,且|f(2)|≥12,以下说法正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确答案:C解析:①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2的假命题应为p+q2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|中至少有一个