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1.6推理与证明-2-高考命题规律1.补充性考题,主要考查合情推理与演绎推理的应用.2.填空题或选择题,5分,中档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1合情推理与演绎推理151275命题角度2直接证明与间接证明命题角度3数学归纳法-3-高考真题体验典题演练提能合情推理与演绎推理1.(2019全国Ⅱ·5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙-4-高考真题体验典题演练提能答案:A解析:若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A.-5-高考真题体验典题演练提能2.(2017全国Ⅰ·12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110答案:A-6-高考真题体验典题演练提能解析:设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为𝑛(1+𝑛)2.第n组的和为1-2𝑛1-2=2n-1,前n组总共的和为2(1-2𝑛)1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N100,令𝑛(1+𝑛)2100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-𝑆𝑛(1+𝑛)2应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29×(1+29)2+5=440,故选A.-7-高考真题体验典题演练提能3.(2016全国Ⅱ·15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.答案:1和3解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.-8-高考真题体验典题演练提能4.(2015山东·11)观察下列各式:C10=40;C30+C31=41;C50+C51+C52=42;C70+C71+C72+C73=43;……照此规律,当n∈N*时,C2𝑛-10+C2𝑛-11+C2𝑛-12+…+C2𝑛-1𝑛-1=.答案:4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n个式子有n项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n个式子为C2𝑛-10+C2𝑛-11+C2𝑛-12+…+C2𝑛-1𝑛-1=4n-1.-9-高考真题体验典题演练提能1.(2019重庆巴蜀中学高三模拟)某演绎推理的“三段”分解如下:①函数f(x)=lgx是对数函数;②对数函数y=logax(a1)是增函数;③函数f(x)=lgx是增函数,则按照演绎推理的三段论模式,排序正确的是()A.①→②→③B.③→②→①C.②→①→③D.②→③→①答案:C解析:①函数f(x)=lgx是对数函数;②对数函数y=logax(a1)是增函数;③函数f(x)=lgx是增函数,大前提是②,小前提是①,结论是③.故排列的次序应为:②→①→③,故选C.-10-高考真题体验典题演练提能2.(2019辽宁朝阳高三四模)甲,乙,丙,丁四名学生,仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当他们被问到谁阅读了该篇文章时,甲说:“丙或丁阅读了”;乙说:“丙阅读了”;丙说:“甲和丁都没有阅读”;丁说:“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的,那么读了该篇文章的学生是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案:B-11-高考真题体验典题演练提能解析:若甲阅读了语文老师推荐的文章,则甲、乙、丙、丁说的都不对,不满足题意;若乙阅读了语文老师推荐的文章,则甲、乙说的都不对,丙、丁都正确,满足题意;若丙阅读了语文老师推荐的文章,则甲、乙、丙说的都对,丁说的不对,不满足题意;若丁阅读了语文老师推荐的文章,则甲说的对,乙、丙、丁说的都不对,不满足题意;故选B.-12-高考真题体验典题演练提能3.有下列各式:1+12+131,1+12+13+…+1732,1+12+13+…+1152,…,则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为.答案:1+12+13+…+12𝑛+1-1𝑛+12(n∈N*)解析:观察各式左边为1𝑛的和的形式,项数分别为3,7,15,…,∴可猜想第n个式子中左边应有2n+1-1项,不等式右边分别写成22,32,42,…,∴猜想第n个式子中右边应为𝑛+12,按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:1+12+13+…+12𝑛+1-1𝑛+12(n∈N*).-13-高考真题体验典题演练提能4.某公司招聘员工,有甲、乙、丙三人应聘并进行面试,结果只有一人被录用,当三人被问到谁被录用时,甲说:丙没有被录用;乙说:我被录用;丙说:甲说的是真话.事实证明,三人中只有一人说的是假话,那么被录用的人是.答案:甲解析:如果甲说假话,则丙被录用,那么乙也说假话了,与题设矛盾;如果乙说假话,则乙没有被录用,丙也没有被录用,则甲被录用,满足题意;如果丙说假话,则甲也说了假话,与题设矛盾.综上所述,被录用的是甲.-14-高考真题体验典题演练提能5.(2019陕西榆林高三一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-2,3)且法向量为n=(4,-1)的直线(点法式)方程为4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点B(2,3,4)且法向量为m=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为.答案:x+2y-z-4=0解析:类比直线方程的求法,利用空间向量的数量积可得(-1)(x-2)+(-2)(y-3)+1×(z-4)=0,化简得x+2y-z-4=0.故答案为:x+2y-z-4=0.-15-高考真题体验典题演练提能6.如图所示,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签:原点处标数字0,记为a0;点(1,0)处标数字1,记为a1;点(1,-1)处标数字0,记为a2;点(0,-1)处标数字-1,记为a3;点(-1,-1)处标数字-2,记为a4;点(-1,0)处标数字-1,记为a5;点(-1,1)处标数字0,记为a6;点(0,1)处标数字1,记为a7;…以此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数),记Sn=a1+a2+…+an,则S2018=.-16-高考真题体验典题演练提能答案:-249解析:设an坐标为(x,y),由归纳推理可知,an=x+y,第一圈从(1,0)点到(1,1)点共8个点,由对称性可得a1+a2+…+a8=0;第二圈从点(2,1)到(2,2)共16个点,由对称性可得a9+…+a24=0,第n圈共有8n个点,这8n项和也为零,设a2018在第n圈,则Sn=8+16+…+8n=4(n+1)n,可得前22圈共有2024个数,S2024=0,S2018=S2024-(a2024+a2023+…+a2019),a2024所在点坐标为(22,22),a2024=22+22,a2023所在点坐标为(21,22),a2023=21+22,a2022=20+22,a2021=19+22,a2020=18+22,a2019=17+22,可得a2024+…+a2019=249,∴S2018=0-249=-249,故答案为-249.-17-高考真题体验典题演练提能直接证明与间接证明(2014山东·4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.-18-高考真题体验典题演练提能1.设m,n,t都是正数,则m+4𝑛,n+4𝑡,t+4𝑚三个数()A.都大于4B.都小于4C.至少有一个大于4D.至少有一个不小于4答案:D解析:依题意,令m=n=t=2,则三个数为4,4,4,排除A,B,C选项,故选D.-19-高考真题体验典题演练提能2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为()A.自然数a,b,c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a,b,c都是奇数D.自然数a,b,c都是偶数答案:B解析:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”.故选B.-20-高考真题体验典题演练提能3.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于12,用反证法证明时可假设|f(1)|≥12,且|f(2)|≥12,以下说法正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确答案:C解析:①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2的假命题应为p+q2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于12的否定为|f(1)|与|f(2)|中都小于12,故②的假设错误,故选C.-21-高考真题体验典题演练提能数学归纳法1.用数学归纳法证明f(n)=1𝑛+1+1𝑛+2+…+13𝑛+12524(n∈N*)的过程中:假设n=k(k∈N*)时,不等式f(k)2524成立,则需证当n=k+1时,f(k+1)2524也成立,则f(k+1)-f(k)=()A.13𝑘+4B.13𝑘+4−1𝑘+1C.13𝑘+2+13𝑘+4−23𝑘+3D.13𝑘+2+13𝑘+3+13𝑘+4答案:C解析:f(k+1)-f(k)=1(𝑘+1)+1+1(𝑘+1)+2+…+13(𝑘+1)+1−1𝑘+1−1𝑘+1+1+…-13𝑘+1=-1𝑘+1+13𝑘+4+13𝑘+3+13𝑘+2=13𝑘+4+13𝑘+2−23𝑘+3.故选C.-22-高考真题体验典题演练提能2.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从