（通用版）2020版高考数学复习 专题五 立体几何 5.3 立体几何解答题课件 文

5.3立体几何解答题-2-高考命题规律1.高考必考考题.主要以多面体为载体,考查空间位置关系的判定与性质、求几何体的体积、面积、距离等.2.解答题,12分,中等难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.-3-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1空间中平行、垂直关系的证明命题角度2几何体的体积与距离问题181919181818191917命题角度3空间中的折叠问题191819命题角度4空间中的探究性问题1819-4-空间中平行、垂直关系的证明高考真题体验·对方向1.(2019天津·17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.-5-(1)证明:连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)证明:取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA.又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)解:连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=𝐷𝑁𝐴𝐷=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.-6-2.(2017山东·18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.-7-证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD.所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.-8-典题演练提能·刷高分1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,点E,F分别在棱BB1,CC1上(均异于端点),且∠ABE=∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.求证:(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;(2)BC∥平面AEF.-9-证明:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1.∵AF⊥CC1,∴AF⊥BB1.又∵AE⊥BB1,AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,∴BB1⊥平面AEF,又∵BB1⊂平面BB1C1C,∴平面AEF⊥平面BB1C1C.(2)∵AE⊥BB1,AF⊥CC1,∠ABE=∠ACF,AB=AC,∴Rt△AEB≌Rt△AFC,∴BE=CF,又由(1)知,BE∥CF.∴四边形BEFC是平行四边形,从而BC∥EF.又∵BC⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,∴BC∥平面AEF.-10-2.(2019四川成都一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M是棱PC的中点.(1)证明:PA∥平面BMD;(2)当PA=时,求三棱锥M-PAD的体积.3(1)证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO.∵M,O分别为PC,AC的中点,∴PA∥MO.∵PA⊄平面BMD,MO⊂平面BMD,∴PA∥平面BMD.-11-(2)解:如图,取线段BC的中点H,连接AH.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AH⊥AD.∵PA⊥平面ABCD,∴AH⊥PA.又PA∩AD=A,所以AH⊥平面PAD,∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度.又BC∥AD,∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度.∵M为PC的中点,∴点M到平面PAD的距离即为12AH的长度.∴VM-PAD=13S△PAD·12AH=12×13×12×3×2×3=12.-12-3.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.(1)求四棱锥F-ACED的体积;(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.-13-(1)解:∵D,E分别是AB,BC边的中点,∴DE平行且等于AC的一半,DE⊥BC,DE=1.依题意,DE⊥EF,BE=EF=2.于是有𝐷𝐸⊥𝐵𝐶𝐷𝐸⊥𝐸𝐹𝐸𝐹⋂𝐸𝐶=𝐸𝐸𝐹,𝐸𝐶⊂平面𝐶𝐸𝐹⇒DE⊥平面CEF.∵DE⊥平面CEF,∴平面ACED⊥平面CEF.过F点作FM⊥EC于点M,则平面𝐴𝐶𝐸𝐷⊥平面𝐶𝐸𝐹,且交线为𝐶𝐸𝐹𝑀⊥𝐸𝐶𝐹𝑀⊂平面𝐶𝐸𝐹⇒FM⊥平面ACED,∵∠CEF=60°,∴FM=3,∴梯形ACED的面积S=12(AC+ED)×EC=12×(1+2)×2=3,∴四棱锥F-ACED的体积V=13Sh=13×3×3=3.-14-(2)证明:如图,设线段AF,CF的中点分别为N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ􀱀12AC,于是𝐷𝐸􀱀12𝐴𝐶𝑁𝑄􀱀12𝐴𝐶⇒DE􀱀NQ⇒DEQN是平行四边形⇒DN∥EQ.又𝐸𝐶=𝐸𝐹∠𝐶𝐸𝐹=60°⇒△CEF是等边三角形.∴EQ⊥FC.由(1)知DE⊥平面CEF,EQ⊂平面CEF.∴DE⊥EQ,∴AC⊥EQ.于是𝐴𝐶⊥𝐸𝑄𝐹𝐶⊥𝐸𝑄𝐴𝐶⋂𝐹𝐶=𝐶𝐴𝐶,𝐹𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐹⇒EQ⊥平面ACF.∴DN⊥平面ACF,又∵DN⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.-15-4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,PA⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=AD,E为AD的中点.(1)求证:PA⊥CD.(2)求证:平面PBD⊥平面PAB.(3)在平面PAB内是否存在M,使得直线CM∥平面PBE,请说明理由.12-16-(1)证明:∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB,∴PA⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.-17-(2)证明:由已知,BC∥ED,且BC=ED,∴四边形BCDE是平行四边形,又CD⊥AD,BC=CD,∴四边形BCDE是正方形,连接CE,则BD⊥CE.又BC∥AE,BC=AE,∴四边形ABCE是平行四边形,∴CE∥AB,∴BD⊥AB,由(1)知PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,又PA∩AB=A,∴BD⊥平面PAB,∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAB.-18-(3)解:当M为直线AB,CD的交点时,有CM∥平面PBE.理由如下:在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=AD,∴四边形ABCD为梯形,∴AB,CD必定相交,设交点为M.由(2)知四边形BCDE是正方形,∴CM∥BE,又CM⊄平面PBE,BE⊂平面PBE,∴CM∥平面PBE.故平面PAB内存在M,使得直线CM∥平面PBE,且M为直线AB,CD的交点.12-19-几何体的体积与距离问题高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.-20-(1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解:由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.13-21-2.(2019全国Ⅰ·19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.-22-(1)证明:连接B1C,ME.由题设知A1B1􀱀DC,可得B1C􀱀A1D,故ME􀱀ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)解:过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.-23-3.(2018全国Ⅱ·19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.2-24-解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,∠ACB=45°.所以OM=253,CH=𝑂𝐶·𝑀𝐶·sin∠𝐴𝐶𝐵𝑂𝑀=455.所以点C到平面POM的距离为455.-25-4.(2017全国Ⅱ·18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.12-26-(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)解:取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=142x.-27-因为△PCD的面积为27,所以12×2x×142x=27,解得x=-2(舍去),x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=13×2×(2+4)2×23=43.-28-5.(2017全国Ⅲ·19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2