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5.1三视图与几何体的体积、表面积-2-高考命题规律1.高考必考考题,多数年份考查2道小题.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.-3-2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1空间几何体三视图的识别与画法93命题角度2空间几何体的体积、表面积65,101616命题角度3三视图还原与几何体的体积、表面积11677106命题角度4球与几何体的切、接问题10411161591212-4-空间几何体三视图的识别与画法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()-5-答案:A解析:根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.-6-2.(2018全国Ⅰ·9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.217B.25C.3D.2-7-答案:B解析:如图所示,易知N为𝐶𝐷的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN=𝑀𝐶2+𝑁𝐶2=25.-8-3.(2014全国Ⅰ·8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱-9-答案:B解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).-10-4.(2013全国Ⅱ·9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()-11-答案:A解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.-12-典题演练提能·刷高分1.某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()-13-答案:B解析:由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.-14-2.如图,O1,O2为棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有正视图中最大面积是()A.a2B.2a2C.3a2D.2a2答案:B解析:所有正视图中面积最大的是长为2a,宽为a的矩形,面积为2a2,故选B.-15-3.已知一几何体的正视图、侧视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()答案:D解析:由图可知,选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线,故选D.-16-4.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各面中最大面的面积为()A.22B.23C.32D.2-17-答案:B解析:由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD.结合三视图中的数据可得S△BCD=12×22=2,𝑆△𝐴1𝐵𝐶=𝑆△𝐴1𝐷𝐶=12×22×2=22,𝑆△𝐴1𝐷𝐵=12×22×(22)2-(2)2=23,故此几何体的各面中最大面的面积为23.选B.-18-5.(2019陕西第二次质检)某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为()A.2B.22C.6D.2-19-答案:B解析:几何体的直观图如图所示,由题意,可知PA⊥底面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,则PC是最长的棱,.故选B.PC=4+4=22-20-6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,用过点A,C,E的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()-21-答案:A解析:如图所示,取B1C1的中点F,则EF∥AC,即平面ACFE亦即平面ACE截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示.-22-7.已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图①所示,A,B,C分别是△GHI三边的中点)后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为()-23-答案:A解析:因为平面DEHG⊥平面EFD,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.-24-空间几何体的体积、表面积高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π答案:B解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=22,r=2,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.-25-2.(2018全国Ⅰ·10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.83答案:C解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,连接BC1,则∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30°,所以在Rt△ABC1中,BC1=𝐴𝐵tan∠𝐴𝐶1𝐵=23,又BC=2,所以在Rt△BCC1中,CC1=(23)2-22=22,所以该长方体体积V=BC×CC1×AB=82.-26-3.(2015全国Ⅰ·6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛-27-答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.∵米堆底部的弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∵h=5,∴米堆的体积V=14×13πR2h=112×π×16π2×5.∵π≈3,∴V≈3209(立方尺).∴堆放的米约有3209×1.62≈22(斛).-28-4.(2019全国Ⅲ·16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案:118.8-29-答案:118.8又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).解析:由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4×12×2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12(cm3).-30-5.(2018全国Ⅱ·16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8.则该圆锥的体积为.答案:8π解析:∵SA⊥SB,∴S△SAB=12·SA·SB=8.∴SA=4.过点S连接底面圆心O,则∠SAO=30°.∴SO=2,OA=23.∴V=13πr2h=13×π×(23)2×2=8π.-31-典题演练提能·刷高分1.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是:有一个空心金球,它的直径12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,试问金球重是多少斤?(注π≈3)()A.125.77B.864C.123.23D.369.69答案:C解析:由题意知,大球半径R=6,空心金球的半径r=6-0.3=5.7,则其体积V=π(63-5.73)≈123.23(立方寸).因为1立方寸金重1斤,所以金球重123.23斤,故选C.43-32-2.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)()A.24642B.26011C.52022D.78033答案:B解析:根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为20+542×38×5550=7803300(立方尺),一个秋天工期所需人数为7803300300=26011,故选B.-33-3.三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,△ABC为正三角形,若AE∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的体积为()A.39B.33C.13D.3答案:B解析:根据题意画出如图所示的几何体:∴三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.∵△ABC为正三角形,AB=2,∴S△ABC=12×2×2×32=3.∵CD⊥底面ABC,AE∥CD,CD=AE=2,∴四边形AEDC为矩形,-34-则F为EC与AD的中点,∴三棱锥F-ABC的高为12CD=1,∴三棱锥F-ABC的体积为V=13×3×1=33.故选B.-35-4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是()A.203B.83+23C.1023D.823-36-答案:C解析:过点E作EG⊥平面ABCD,垂足为点G,过点F作FH⊥平面ABCD,垂足为点H,过点G作PQ∥AD,交AB于点Q,交CD于点P,过点H作MN∥BC,交AB于点N,交CD于点M,如图所示:∵四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,∴四边形PMNQ是边长为2的正方形,EG=(3)2-12=2,∴这个几何体的体积为V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=13×1×2×2×2+12×2×2×2=423+22=1023.故选C.-37-5.已知M,N是三棱锥P-ABC的棱AB,PC的中点,记三棱锥P-ABC的体积为V1,三棱锥N-MBC的体积为V2,则𝑉2𝑉1等于.答案:14解析:如图,设三棱锥P-ABC的底面积为S,高为h.∵M是AB的中点,∴S△BMC=12S.∵N是PC的中点,∴三棱锥N-MBC的高为12h,则V1=13Sh,V2=13×12S×12h=112Sh,∴𝑉2𝑉1=112𝑆ℎ13𝑆ℎ=14.故填14.-38-6.在四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,SD=AD=2,三棱柱MNP-M1N1P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD的棱上,已知M,N,P分别是棱AB,AD,AS的中点,则三棱柱MNP-M1N1P1的体积为.答案:1解析:由题得M1是BC中点,N1是DC中点,P1是SC中点,PN=1,MN=2,且PN⊥MN,所以三棱柱MNP-M1N1