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5.1三视图与几何体的体积、表面积-2-高考命题规律1.高考必考考题,多数年份考查2道小题.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1空间几何体三视图的识别与画法73命题角度2空间几何体的体积、表面积616161616命题角度3三视图还原与几何体的体积、表面积11666974命题角度4球与几何体的切、接问题91081012-3-高考真题体验典题演练提能空间几何体三视图的识别与画法1.(2018全国Ⅲ·3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案:A解析:根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.-4-高考真题体验典题演练提能2.(2018全国Ⅰ·7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.217B.25C.3D.2-5-高考真题体验典题演练提能在Rt△MCN中,MN=𝑀𝐶2+𝑁𝐶2=25.答案:B解析:如图所示,易知N为𝐶𝐷的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.-6-高考真题体验典题演练提能3.(2017北京·7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.32B.23C.22D.2-7-高考真题体验典题演练提能答案:B解析:由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE=22+22+22=23.故选B.-8-高考真题体验典题演练提能4.(2014全国Ⅰ·12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.62B.6C.42D.4-9-高考真题体验典题演练提能答案:B解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=(42)2+22=6.-10-高考真题体验典题演练提能5.(2013全国Ⅰ·7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()-11-高考真题体验典题演练提能答案:A解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.-12-高考真题体验典题演练提能1.某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()答案:B解析:由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.-13-高考真题体验典题演练提能2.如图,O1,O2为棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有正视图中最大面积是()A.a2B.2a2C.3a2D.2a2答案:B解析:所有正视图中面积最大的是长为2a,宽为a的矩形,面积为2a2,故选B.-14-高考真题体验典题演练提能3.已知一几何体的正视图、侧视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()答案:D解析:由图可知,选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线,故选D.-15-高考真题体验典题演练提能4.(2019湖南六校联考)一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积为8,则俯视图中三角形的高x等于()A.2B.3C.4D.1-16-高考真题体验典题演练提能答案:C解析:如图所示,该几何体为四棱锥,体积为V=13×12×(2+4)×2·x=8,解得x=4.-17-高考真题体验典题演练提能5.(2019陕西第二次质检,理9)某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为()A.2B.22C.6D.2-18-高考真题体验典题演练提能答案:B解析:几何体的直观图如图所示,由题意,可知PA⊥底面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,则PC是最长的棱,PC=4+4=22.故选B.-19-高考真题体验典题演练提能6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,用过点A,C,E的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()-20-高考真题体验典题演练提能答案:A解析:如图所示,取B1C1的中点F,则EF∥AC,即平面ACFE亦即平面ACE截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示.-21-高考真题体验典题演练提能7.已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图①所示,A,B,C分别是△GHI三边的中点)后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为()答案:A解析:因为平面DEHG⊥平面EFD,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.-22-高考真题体验典题演练提能空间几何体的体积、表面积1.(2019全国Ⅲ·16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.-23-高考真题体验典题演练提能答案:118.8解析:由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4×12×2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).-24-高考真题体验典题演练提能2.(2015全国Ⅰ·6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛-25-高考真题体验典题演练提能答案:B解析:设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=14×13·πR2h=112×π×16π2×5.∵π≈3,∴V≈3209(尺3).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).-26-高考真题体验典题演练提能3.(2018全国Ⅱ·16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515.则该圆锥的侧面积为.答案:402π解析:设O为底面圆圆心,∵cos∠ASB=78,∴sin∠ASB=1-782=158.∴S△ASB=12×|AS|·|BS|·158=515.∴SA2=80.∴SA=45.∵SA与圆锥底面所成的角为45°,∠SOA=90°.∴SO=OA=22SA=210.∴S圆锥侧=πrl=45×210×π=402π.-27-高考真题体验典题演练提能1.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是:有一个空心金球,它的直径12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,试问金球重是多少斤?(注π≈3)()A.125.77B.864C.123.23D.369.69答案:C解析:由题意知,大球半径R=6,空心金球的半径r=6-0.3=5.7,则其体积V=π(63-5.73)≈123.23(立方寸).因为1立方寸金重1斤,所以金球重123.23斤,故选C.43-28-高考真题体验典题演练提能2.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)()A.24642B.26011C.52022D.78033答案:B解析:根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为20+542×38×5550=7803300(立方尺),一个秋天工期所需人数为7803300300=26011,故选B.-29-高考真题体验典题演练提能3.三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,△ABC为正三角形,若AE∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的体积为()A.39B.33C.13D.3答案:B-30-高考真题体验典题演练提能解析:根据题意画出如图所示的几何体:∴三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.∵△ABC为正三角形,AB=2,∴S△ABC=12×2×2×32=3.∵CD⊥底面ABC,AE∥CD,CD=AE=2,∴四边形AEDC为矩形,则F为EC与AD的中点,∴三棱锥F-ABC的高为12CD=1,∴三棱锥F-ABC的体积为V=13×3×1=33.故选B.-31-高考真题体验典题演练提能4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是()A.203B.83+23C.1023D.823答案:C-32-高考真题体验典题演练提能解析:过点E作EG⊥平面ABCD,垂足为点G,过点F作FH⊥平面ABCD,垂足为点H,过点G作PQ∥AD,交AB于点Q,交CD于点P,过点H作MN∥BC,交AB于点N,交CD于点M,如图所示:∵四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,∴四边形PMNQ是边长为2的正方形,EG=(3)2-12=2,∴这个几何体的体积为V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=13×1×2×2×2+12×2×2×2=423+22=1023.故选C.-33-高考真题体验典题演练提能5.已知M,N是三棱锥P-ABC的棱AB,PC的中点,记三棱锥P-ABC的体积为V1,三棱锥N-MBC的体积为V2,则等于.𝑉2𝑉1答案:14解析:如图,设三棱锥P-ABC的底面积为S,高为h.∵M是AB的中点,∴S△BMC=12S.∵N是PC的中点,∴三棱锥N-MBC的高为12h,则V1=13Sh,V2=13×12S×12h=112Sh,∴𝑉2𝑉1=112𝑆ℎ13𝑆ℎ=14.故填14.-34-高考真题体验典题演练提能6.在四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,SD=AD=2,三棱柱MNP-M1N1P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD的棱上,已知M,N,P分别是棱AB,AD,AS的中点,则三棱柱MNP-M1N1P1的体积为.答案:1解析:由题得M1是BC中点,N1是DC中点,P1是SC中点,PN=1