（通用版）2020版高考数学复习 专题三 三角函数 3.3 三角恒等变换与解三角形课件 理

3.3三角恒等变换与解三角形-2-高考命题规律1.高考的重要考题,常与数列解答题交替在17题位置呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1利用正弦定理和余弦定理三角形17171717171717命题角度2解三角形中的最值与范围问题18命题角度3应用正弦定理和余弦定理解决实际问题-3-高考真题体验典题演练提能利用正弦定理和余弦定理解三角形1.(2019全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sinC.2解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12.因为0°A180°,所以A=60°.-4-高考真题体验典题演练提能(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-22.由于0°C120°,所以sin(C+60°)=22,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=6+24.-5-高考真题体验典题演练提能2.(2019北京·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.12解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c×-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinC=𝑐𝑏sinB=5314.在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角.所以cosC=1-sin2𝐶=1114.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.-6-高考真题体验典题演练提能3.(2017全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为𝑎23sin𝐴.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.-7-高考真题体验典题演练提能解:(1)由题设得12acsinB=𝑎23sin𝐴,即12csinB=𝑎3sin𝐴.由正弦定理得12sinCsinB=sin𝐴3sin𝐴.故sinBsinC=23.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsinA=𝑎23sin𝐴,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.-8-高考真题体验典题演练提能4.(2017全国Ⅱ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2𝐵2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解:(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2𝐵2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517.-9-高考真题体验典题演练提能(2)由cosB=1517得sinB=817,故S△ABC=12acsinB=417ac.又S△ABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.所以b=2.-10-高考真题体验典题演练提能5.(2017全国Ⅲ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解:(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12𝐴𝐵·𝐴𝐷·sinπ612𝐴𝐶·𝐴𝐷=1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=23,所以△ABD的面积为3.-11-高考真题体验典题演练提能1.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2𝐴𝐵·𝐴𝐶=a2-(b+c)2.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b=23,求△ABC的面积.解:(1)由已知2𝐴𝐵·𝐴𝐶=a2-(b+c)2,得2bccosA=a2-(b+c)2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4bccosA=-2bc,所以cosA=-12.又0Aπ,故A=2π3.(2)由(1)知cosA=-12,sinA=32,由正弦定理,得sinB=𝑏sin𝐴𝑎=23×326=12,所以B=π6或56π(舍去).从而C=π6,所以△ABC的面积为S=12absinC=12×6×23×12=33.-12-高考真题体验典题演练提能2.(2019安徽江淮十校高三最后一卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b,csinB=bcosC-π6.(1)求角C;(2)若AD是BC上的中线,延长AD至点E,使得DE=2AD=2,求E,C两点的距离.-13-高考真题体验典题演练提能解:(1)在△ABC中,由csinB=bcosC-π6及正弦定理得sinCsinB=sinB32cosC+12sinC.因为sinB0,化简得12sinC-32cosC=0,即tanC=3.因为0Cπ,所以C=π3.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosπ3=3b2,所以a2=b2+c2,故A=π2,即△ABC是直角三角形.由(1)知△ACD是等边三角形,且AD=CD=AC=1,∠CAD=π3,DE=2,所以AE=3.在△ACE中,CE2=AE2+AC2-2AE·ACcosπ3=7,CE=7,故E,C两点的距离为7.-14-高考真题体验典题演练提能3.(2019江苏南通通州高三调研)已知函数f(x)=sinxcosx+3sin2x-32.(1)若x∈0,π2,求函数f(x)的值域;(2)在△ABC中,已知C为锐角,f𝐶2=-12,AB=3,A=π4,求边BC的长.解:(1)f(x)=sinxcosx+3sin2x-32=12sin2x+3(1-cos2𝑥)2−32=sin2x-π3.∵x∈0,π2,∴2x-π3∈-π3,2π3,∴-32≤sin2x-π3≤1,即函数f(x)的值域是-32,1.-15-高考真题体验典题演练提能(2)由(1)可知f𝐶2=-12=sinC-π3.∵C为锐角,∴C-π3∈-π3,π6,易知C-π3=-π6,可得C=π6.在△ABC中,AB=3,A=π4,由正弦定理,可得𝐴𝐵sin𝐶=𝐵𝐶sin𝐴,即3sinπ6=𝐵𝐶sinπ4,解得BC=32.-16-高考真题体验典题演练提能4.如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.3解:(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=23,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(23)2+12-2×23×1×-32=19,BD=19.(2)由题意可知,AD=2cosθ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,𝐴𝐷sin∠𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐷𝐵,∴2cos𝜃sin(60°-𝜃)=43,∴tanθ=233.-17-高考真题体验典题演练提能5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B.(1)求证:a2=b(b+c);(2)若△ABC的面积为a2,求B的大小.14(1)证明:由A=2B,可得sinA=sin2B=2sinBcosB,又由正、余弦定理得a=2b·𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐,有(c-b)(a2-b2-bc)=0.当b≠c时,a2-b2-bc=0,即a2=b2+bc=b(b+c).当b=c时,B=C.又A=2B,∴A=90°,B=C=45°.∴a=2b,∴a2-b2-bc=(2b)2-b2-b·b=0,∴a2=b2+bc.综上,当A=2B时,a2=b2+bc.-18-高考真题体验典题演练提能(2)解:∵S△ABC=12acsinB=14a2,∴csinB=12a,∴sinCsinB=12sinA.又A=2B,∴sinCsinB=sinBcosB.∵sinB≠0,∴sinC=cosB.又B,C∈(0,π),∴C=π2±B.当B+C=π2时,B=𝐴2=π4;当C-B=π2时,B=π8;∴B=π4或B=π8.-19-高考真题体验典题演练提能6.在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B为锐角,且acosB+bsinB=c.(1)求角C.(2)若B=π3,延长线段AB至D,使得CD=3,且△ACD的面积为343,求线段BD的长度.解:(1)由正弦定理可知sinAcosB+sin2B=sinC.∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sin2B=cosAsinB.∴B∈0,π2,sinB0,∴sinB=cosA,即cosπ2-B=cosA.∴A∈(0,π),π2-B∈0,π2,∴π2-B=A,即A+B=π2.∴C=π2.-20-高考真题体验典题演练提能(2)设BD=x,CB=a.∵∠ABC=π3,∠ACB=π2,∴AC=3a,AB=2a,AD=2a+x.∴S△ACD=12AC·AD·sinA=12×3a×(2a+x)×12=343,即a(2a+x)=3.①在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC,即x2+a2+ax=3.②联立①②可解得x=a=1.即BD=1.-21-高考真题体验典题演练提能解三角形中的最值与范围问题(2019全国Ⅲ·18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin𝐴+𝐶2=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理得sinAsin𝐴+𝐶2=sinBsinA.因为sinA≠0,所以sin𝐴+𝐶2=sinB.由A+B+C=180°,可得sin𝐴+𝐶2=cos𝐵2,故cos𝐵2=2sin𝐵2cos𝐵2.因为cos𝐵2≠0,故sin𝐵2=12,因此B=60°.-22-高考真题体验典题演练提能(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a.由正弦定理得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=sin(120°-𝐶)sin𝐶=32tan𝐶+12.由于△ABC为锐角三角形,故0°A90°,0°C90°.由(1)知A+C=120°,所以30°C90°,故12a2,从而38S△ABC32.因此,△ABC面积的取值范围是38,32.-23-高考真题体验典题演练提能1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB).(1)求A.(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.解:(1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12,即cosA=12.由于0Aπ,所以A=