（通用版）2020版高考数学复习 专题三 三角函数 3.3 解三角形解答题课件 文

3.3解三角形解答题-2-高考命题规律1.高考的重要考题,常与数列解答题交替在17题位置呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形1717命题角度2解三角形中的最值与范围问题18-3-利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019北京·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.-4-解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c×-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinA=𝑎𝑏sinB=3314.在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sinA=3314.-5-2.(2019天津·16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin2B+π6的值.解:(1)在△ABC中,由正弦定理𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=𝑎2+49𝑎2-169𝑎22·𝑎·23𝑎=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2𝐵=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+π6=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=-158×32−78×12=-35+716.-6-3.(2017山东·17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,𝐴𝐵·𝐴𝐶=-6,S△ABC=3,求A和a.解:因为𝐴𝐵·𝐴𝐶=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0Aπ.所以A=3π4.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-22=29,所以a=29.-7-4.(2015全国Ⅰ·17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积.解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=14.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以△ABC的面积为1.-8-新题演练提能·刷高分1.(2019江西南昌外国语学校高三适应性考试)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos𝐴-2cos𝐶cos𝐵=2𝑐-𝑎𝑏.(1)求sin𝐶sin𝐴的值;(2)若cosB=14,b=2,求△ABC的面积.-9-解:(1)由正弦定理,得2𝑐-𝑎𝑏=2sin𝐶-sin𝐴sin𝐵,所以cos𝐴-2cos𝐶cos𝐵=2sin𝐶-sin𝐴sin𝐵,即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB,cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB.化简得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=π,所以sinC=2sinA,因此sin𝐶sin𝐴=2.(2)由sin𝐶sin𝐴=2,得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=14,b=2,得4=a2+4a2-4a2×14,解得a=1,从而c=2.又因为cosB=14,且0Bπ,所以sinB=154.因此S=12acsinB=12×1×2×154=154.-10-2.△ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sinC,c=3.(1)求A;(2)若AD是BC边上的中线,AD=192,求△ABC的面积.解:(1)由正弦定理,得2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sinC,可化为bsinB-asinA=bsinC-csinC,即b2-a2=bc-c2,cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12,A=60°.(2)以AB,AC为邻边作▱ABEC,在△ABE中,∠ABE=120°,AE=19.在△ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos120°.即19=9+AC2-2×3×AC×-12,解得AC=2.故S△ABC=12bcsinA=332.-11-3.(2019福建三明高三二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c2.(1)求证:C=2A;(2)若△ABC的面积为a2sin2B,求角C的大小.-12-解:(1)在△ABC中,根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC,又因为ab+a2=c2,所以ab=b2-2abcosC.因为b0,所以b-a=2acosC.根据正弦定理,sinB-sinA=2sinAcosC.因为A+B+C=π,即A+C=π-B,则sinB=sinAcosC+cosAsinC,所以sinA=sinCcosA-sinAcosC.即sinA=sin(C-A).因为A,C∈(0,π),则C-A∈(-π,π),所以C-A=A,或C-A=π-A(舍去后者).所以C=2A.-13-(2)因为△ABC的面积为a2sin2B,所以a2sin2B=12acsinB,因为a0,sinB0,所以c=2asinB,则sinC=2sinAsinB.因为C=2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,所以sinB=cosA.因为A∈0,π2,所以cosA=sinπ2-A,即sinB=sinπ2-A,所以B=π2-A或B=π2+A.当B=π2-A,即A+B=π2时,C=π2;当B=π2+A时,由π-3A=π2+A,解得A=π8,则C=π4.综上,C=π2或C=π4.-14-4.(2019福建厦门高三一模)在平面四边形ABCD中,∠ABC=π3,∠ADC=π2,BC=2.(1)若△ABC的面积为332,求AC;(2)若AD=23,∠ACB=∠ACD+π3,求tan∠ACD.解:(1)在△ABC中,因为BC=2,∠ABC=π3,S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=332,所以32AB=332,解得AB=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7,所以AC=7.-15-(2)设∠ACD=α,则∠ACB=∠ACD+π3=α+π3.如图.在Rt△ACD中,因为AD=23,所以AC=𝐴𝐷sin𝛼=23sin𝛼,在△ABC中,∠BAC=π-∠ACB-∠ABC=π3-α,由正弦定理,得𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶,即2sin(π3-𝛼)=2332sin𝛼,所以2sinπ3-α=sinα.所以232cosα-12sinα=sinα,即3cosα=2sinα.所以tanα=32,即tan∠ACD=32.-16-5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B.(1)求证:a2=b(b+c);(2)若△ABC的面积为14a2,求B的大小.(1)证明:由A=2B,可得sinA=sin2B=2sinBcosB,又由正、余弦定理得a=2b·𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐,有(c-b)(a2-b2-bc)=0.当b≠c时,a2-b2-bc=0,即a2=b2+bc=b(b+c).当b=c时,B=C.又A=2B,∴A=90°,B=C=45°.∴a=2b,∴a2-b2-bc=(2b)2-b2-b·b=0,∴a2=b2+bc.综上,当A=2B时,a2=b2+bc.-17-(2)解:∵S△ABC=12acsinB=14a2,∴csinB=12a,∴sinCsinB=12sinA.又A=2B,∴sinCsinB=sinBcosB.∵sinB≠0,∴sinC=cosB.又B,C∈(0,π),∴C=π2±B.当B+C=π2时,B=𝐴2=π4;当C-B=π2时,B=π8;∴B=π4或B=π8.-18-6.(2019安徽江淮十校高三最后一卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b,csinB=bcosC-π6.(1)求角C;(2)若AD是BC上的中线,延长AD至点E,使得DE=2AD=2,求E,C两点的距离.解:(1)在△ABC中,由csinB=bcosC-π6及正弦定理得sinCsinB=sinB32cosC+12sinC.因为sinB0,化简得12sinC-32cosC=0,即tanC=3.因为0Cπ,所以C=π3.-19-(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosπ3=3b2,所以a2=b2+c2,故A=π2,即△ABC是直角三角形.由(1)知△ACD是等边三角形,且AD=CD=AC=1,∠CAD=π3,DE=2,所以AE=3.在△ACE中,CE2=AE2+AC2-2AE·ACcosπ3=7,CE=7,故E,C两点的距离为7.-20-解三角形中的最值与范围问题高考真题体验·对方向(2019全国Ⅲ·18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.asin𝐴+𝐶2=bsinA.-21-解:(1)由题设及正弦定理得sinAsin𝐴+𝐶2=sinBsinA.因为sinA≠0,所以sin𝐴+𝐶2=sinB.由A+B+C=180°,可得sin𝐴+𝐶2=cos𝐵2,故cos𝐵2=2sin𝐵2cos𝐵2.因为cos𝐵2≠0,故sin𝐵2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a.由正弦定理得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=sin(120°-𝐶)sin𝐶=32tan𝐶+12.由于△ABC为锐角三角形,故0°A90°,0°C90°.由(1)知A+C=120°,所以30°C90°,故12a2,从而38S△ABC32.因此,△ABC面积的取值范围是38,32.-22-典题演练提能·刷高分1.(2019河南南阳高三联考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(acosC-b)=asinC.(1)求角A;(2)若点D为BC的中点,且AD的长为3,求△ABC面积的最大值.3解:(1)由正弦定理,可得3(sinAcosC-sinB)=sinAsinC.∵A+B+C=π,∴B=π-(A+C).∴3[sinAcosC-sin(A+C)]=sinAsinC,即-3cosAsinC=sinAsinC,∵0Cπ,∴sinC0.∴tanA=-3.∵0Aπ,∴A=2π3.-23-(2)∵AD为BC边上的中线,∴𝐴𝐷=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶).又AD=3,∴3=14(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2+2𝐴𝐵·𝐴𝐶)=14(b2+c2-bc)≥𝑏𝑐4,∴bc≤12,当且仅当b=c时取得等号.∴S△ABC=12bcsinA=34bc≤33,当且仅当b=c时取得等号,∴△ABC面积的最大值为33.-24-2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB).